卡塔兰数（Catalan）

Posted 2020-09-26 zhchoutai

卡塔兰数（Catalan）

原理：

令h(0)=1,h(1)=1。

卡塔兰数满足递推式：h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)(n>=2)

比如：

h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式：h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：
h(n)=c(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)  

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

（注：c（2n，n）=(2n)!/[((n!)*(2n-n)!)] )

算法实现1：

//函数功能: 计算Catalan的第n项  
//函数參数: n为项数  
//返回值:   第n个Catalan数  
int Catalan(int n)  
{  
    if(n <= 1)  
        return 1;  
  
    h[0] = h[1] = 1;        //h(0)和h(1)  
    for(int i = 2; i <= n; i++)    //依次计算h(2),h(3)...h(n)  
    {  
        h[i]=0;  
        for(int j=0;j<i;j++) //依据递归式计算 h(i)= h(0)*h(i-1)+h(1)*h(i-2) + ... + h(i-1)h(0)  
          h[i]+=(h[j]*h[i-1-j]);  
    }  
    int result = h[n]; //保存结果   
    return result;  
}  

算法实现2:

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int main ()
{
	int i,j,n;
	__int64 a[40][40];
	while(~scanf("%d",&n)&&n!=-1)
	{  	
	  memset(a,0,sizeof(a));
	  for(j=0;j<=n;j++)
	       a[0][j]=1; 
		
	  for(i=1;i<=n;i++)
	    for(j=i;j<=n;j++)
		a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1];
	printf("%I64d\n",a[n][n]);
	}
	return 0;
}