Catalan数

Posted 2020-10-13 outthinker

当n个编号元素以某种顺序进栈，并可在任意时刻出栈，所获得的编号元素排列的数目N恰好满足Catalan函数的计算，即N=C(2n,n)/(n+1)。

 

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名。

 

卡特兰数的前几项：1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862…

 

卡特兰数原理：

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

该递推关系的解为：h(n) = C(2n,n)/(n+1)，n=0,1,2,3,... （其中C(2n,n)表示2n个物品中取n个的组合数）

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式  ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

 

 思考：观察Catalan的结构，每个分量都由两个部分相乘（具有递归性质）

 

卡特兰数应用之出栈次序：

问题一：

一个栈的进栈序列为1,2,3，…，n。有多少个不同的出栈序列？

分析：设f(n) = 序列个数为n的出栈序列种数。设最后出栈的元素为k。即在k进栈之前，元素1,2,…，k-1已经出栈，出栈序列数为f(k-1)。在k进栈后，元素k+1,k+2,…，n已经进栈后全部出栈。所以元素k+1,k+2,…,n出栈序列种数为f(n-k)。由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。

解决：f(n) = f(n-k)*f(k-1),其中k=1,2,3,…,n  所以f(n) = h(n)= C(2n,n)/(n+1) = c(2n,n)-c(2n,n+1)（n=0,1,2,3,…,n）

问题二：

12个高矮不同的人，排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？

　　问题分析:
　　我们先把这12个人从低到高排列,然后,选择6个人排在第一排,那么剩下的6个肯定是在第二排.
　　用0表示对应的人在第一排,用1表示对应的人在第二排,那么含有6个0,6个1的序列,就对应一种方案.
　　比如000000111111就对应着
　　第一排：0 1 2 3 4 5
　　第二排：6 7 8 9 10 11
　　010101010101就对应着
　　第一排：0 2 4 6 8 10
　　第二排：1 3 5 7 9 11
　　问题转换为，这样的满足条件的01序列有多少个。

　　观察规律我们发现1的出现前边必须有一个相应的0对应，所以从左到右的所有序列中0的个数要一直大于1的个数。那这种数列有多少种排列方式呢？

　　那么我们从左往右扫描，第一次出现1的个数等于0的个数是第k位，那么在此之前，0的个数是大于1的个数的。在此之后，0的个数也是大于1的个数的。所以第k位0和1的个数第一次相等的排列有他们这两部分的个数相称的结果。那么所有的k有多少种，则把它们相加起来，就是最后的排列数。这是一个递归的问题。

　　即   h(n)=h(0)×h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)

其他应用：