bzoj3231[Sdoi2008]递归数列 矩阵乘法+快速幂

Posted 2020-09-26 GXZlegend

题目描述

一个由自然数组成的数列按下式定义：

对于i <= k：a_i = b_i

对于i > k: a_i = c₁a_i-1 + c₂a_i-2 + ... + c_ka_i-k

其中b_j和 c_j （1<=j<=k）是给定的自然数。写一个程序，给定自然数m <= n, 计算a_m + a_m+1 + a_m+2 + ... + a_n, 并输出它除以给定自然数p的余数的值。

输入

由四行组成。

第一行是一个自然数k。

第二行包含k个自然数b₁, b₂,...,b_k。

第三行包含k个自然数c₁, c₂,...,c_k。

第四行包含三个自然数m, n, p。

输出

仅包含一行：一个正整数，表示(a_m + a_m+1 + a_m+2 + ... + a_n) mod p的值。

样例输入

2
1 1
1 1
2 10 1000003

样例输出

142

---

题解

裸的矩乘快速幂，转移矩阵都给出来了。

将区间求和转化为前缀相减处理，对于矩阵[a1 a2 ... ak]，按照题目中的公式推出[a2 a3 ... ak+1]，然后由于求和，所以需要再开一个位置记录前缀和。

转移矩阵自己推一推就好了。

注意特判t<=k的情况。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n;
ll p , sum[20];
struct data
{
	ll v[20][20];
	data() {memset(v , 0 , sizeof(v));}
	data operator*(const data a)const
	{
		data ans;
		int i , j , k;
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
				for(k = 1 ; k <= n ; k ++ )
					ans.v[i][j] = (ans.v[i][j] + v[i][k] * a.v[k][j]) % p;
		return ans;
	}
	data operator^(const ll a)const
	{
		data x = *this , ans;
		int y = a , i;
		for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) ans.v[i][i] = 1;
		while(y)
		{
			if(y & 1) ans = ans * x;
			x = x * x , y >>= 1;
		}
		return ans;
	}
}B , A;
ll cal(ll t)
{
	if(t < n) return sum[t];
	return (B * (A ^ (t - n + 1))).v[1][n];
}
int main()
{
	int i , j;
	ll l , r;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lld" , &B.v[1][i]) , B.v[1][n + 1] = B.v[1][n + 1] + B.v[1][i] , sum[i] = sum[i - 1] + B.v[1][i];
	for(i = n ; i >= 1 ; i -- ) scanf("%lld" , &A.v[i][n]) , A.v[i][n + 1] = A.v[i][n];
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) A.v[i + 1][i] = 1;
	n ++ , A.v[n][n] = 1;
	scanf("%lld%lld%lld" , &l , &r , &p);
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ ) sum[i] %= p;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= n ; j ++ )
			A.v[i][j] %= p , B.v[i][j] %= p;
	printf("%lld\n" , (cal(r) - cal(l - 1) + p) % p);
	return 0;
}