唯一分解定理证明(WD)

Posted 2020-09-26 ioioioioioio

from  http://www.matrix67.com/blog/archives/495

 

    为什么质因数分解的方法是唯一的。这个结论是如此的显然和易于接受，以致于有人会脱口而出：这当然是唯一的，不断使用越来越大的质数去试除，最后得到的肯定是唯一的质因数分解。不可否认，这个算法本身是没有任何问题的。根据合数的定义，试除与分解是一定能不断进行下去的，除非被除数本身变成了一个质数，而此时也标志着算法的结束。问题的关键就在于，这并不能说明原数能唯一地表示成质数的乘积：换一种试除的顺序会不会得出不同的分解方法？万一还有什么别的牛B大法也能用来分解质因数，而且结果与上面得到的完全不一样咋办？上面给出的算法只能说明我们能找出至少一种分解质因数的方法，用这种方法得到的结果是唯一的，但到底还有没有其它偏方秘籍能导出另外的分解方法来，我们就不得而知了。为了真正地证明，分解质因数的方法是唯一的，我们将再次用到反证法。假设存在某些数，它们有至少两种分解方法。那么根据上文提到的“非空正整数集里存在最小的元素”，一定有一个最小的数M，它能用至少两种方法表示成质数的乘积：

   M = P1 * P2 * … * Pr = Q1 * Q2 * … * Qs
    下面我们将看到，这种假设会推出一个多么荒谬的结果来。不妨设P1 <= P2 <= ... <= Pr, Q1 <= Q2 <= ... <= Qs。显然，P1是不等于Q1的，不然两边同时约掉它，我们就得到一个更小的有两种分解方法的数。不妨设P1 < Q1，那么我们用P1替换掉等式最右边中的Q1，得到一个比M更小的数T = P1 * Q2 * Q3 * ... * Qs。令M‘ = M - T，我们得到M‘的两种表达：    M‘ = (P1 * P2 * ... * Pr) - (P1 * Q2 * ... * Qs) = P1 * (P2 * .. * Pr - Q2 * ... * Qs)  ……  (1)    M‘ = (Q1 * Q2 * ... * Qs) - (P1 * Q2 * ... * Qs) = (Q1 - P1) * Q2 * ... * Qs  ………………  (2)     由于T比M小，因此M‘是正整数。从(1)式中我们立即看到，P1是M‘的一个质因子。注意到M‘比M小，因此它的质因数分解方式应该是唯一的，可知P1也应该出现在表达式(2)中。既然P1比所有的Q都要小，因此它不可能恰好是(2)式中的某个Q，于是只可能被包含在因子(Q1-P1)里。但这就意味着，(Q1-P1)/P1除得尽，也就是说Q1/P1-1是一个整数，这样Q1/P1也必须得是整数。我们立即看出，P1必须也是Q1的一个因子，这与Q1是质数矛盾了。这说明，我们最初的假设是错误的。     唯一分解定理的一个重要的推论是，如果质数p是ab的因子，那么p或者是a的因子，或者是b的因子。我们刚才在证明过程中也不自觉地用到了这个推论。证明方法很简单，假如a和b里面都不含p，把a和b各自分解开来再乘到一起，我们就得到了数ab的一个没有因子p的分解方式；而按照前面提到的试除法，ab是可以表示成p与另一些质数的乘积的，这违背了唯一分解定理。连续多次使用该推论，我们可以很快将推论推广到多个数的情形。     事实上，假设这个推论成立，我们也能很快反过来推出唯一分解定理：写出N的两种质因数分解，在前一种分解中任取一个因子，它必然会在后一种分解方法中出现；把它们约掉之后结论继续适用，不断进行该操作直到最终两边都只余下一个1。这一系列操作说明了，两种分解方法实际上是相同的。我们看到，唯一分解定理和它的推论实际上是等价的。如果我们能够绕过唯一分解定理，用另一种方法证出这个推论，我们也就相当于找到了唯一分解定理的另一个证明。而事实上，运用扩展的辗转相除算法，我们可以飞快地完成推论的证明。我们将说明，如果质数p能整除ab，但不整除a，那它一定是b的约数。     质数p不能整除a，告诉我们a和p互质，于是存在整数k和l使得ka + lp = 1。等式两边同时乘以b，我们有kab + lpb = b。而ab能被p整除，也即存在整数r使得ab=pr。那么，kpr + lpb = p(kr + lb) = b，我们立即看出p是b的一个约数。