数论-算术基本定理

Posted 2021-01-10 ac-ac

　　算术基本定理又叫唯一因子分解定理，算术基本定理的表述如下：

任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积

，这里P1<P2<P3......<Pn均为质数，其中指数ai是正整数。这样的分解称为 N 的标准分解式。

　　在进行证明这个定理之前，先说一个关于素数整除性的一个基本而重要的事实。

欧几里得引理：对所有的素数p和所有整数a,b，如果p|ab,则p|a，或p|b。即：如果一个素数整除两个正整数的乘积，那么这个素数可以至少整除这两个正整数中的一个。如果 p|bc，那么p|b或者p|c。

证明：采用反证法，假设p|ab，但p不整除a也不整除b。所以gcd（p,a)=1,gcd(p,b)=1,这是因为p的约数只有1和p，又因为假设a，b都不能被p整除，所以gcd（p，ab）=1;由假设p|ab可知gcd（ab，p）=p，于是产生矛盾。从而证明定理成立。

　

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　算术基本定理的证明：

　　　　必然性：用反证法：假设存在大于1的自然数不能写成质数的乘积，把最小的那个称为n。自然数可以根据其可除性（是否能表示成两个不是自身的自然数的乘积）分成3类：质数、合数和1。首先，按照定义，n 大于1。其次，n 不是质数，因为质数p可以写成质数乘积：p=p，这与假设不相符合。因此n只能是合数，但每个合数都可以分解成两个严格小于自身而大于1的自然数的积。设，其中a 和b 都是介于1和n 之间的自然数，因此，按照n 的定义，a 和b 都可以写成质数的乘积。从而 也可以写成质数的乘积。由此产生矛盾。因此大于1的自然数必可写成质数的乘积。

　　　　唯一性：反证法：假设有些大于1的自然数可以以多于一种的方式写成多个质数的乘积，那么假设n 是最小的一个。首先n 不是质数。将n 用两种方法写出 。根据引理，质数 ，所以 中有一个能被整除，不妨设为。但也是质数，因此 。所以，比n小的正整数也可以写成 。这与n 的最小性矛盾！

因此唯一性得证。

 编程实现：

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000;
int a[maxn];
int num;
int main(void)
{
    int n;
    while(cin>>n)
    {
        num = 0;
        for(int i = 2; i <= n; i++) 
        {
            while(n%i==0)
            {
                a[num++] = i;
                n = n/i;
            }            
        }
        for(int i = 0; i < num; i++)
        {
             printf(i==0?"%d":"*%d",a[i]);
        }
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}