基本数论定理

Posted 2020-08-17 gaozhuoyuan

算术基本定理

标签（空格分隔）： 数论 证明

定理内容：
对于每一个整数\(n\ge2\)，可唯一分解乘素数乘积
\(n = p_1*p_2..p_n\)

证明也是比较有意思的。

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如无特殊说明，本文的p都是素数
首先证明：
如果\(p\mid a_1 * a_2\)，则\(p\)必定整除其中一个。(此时我们没有学会算术基本定理，所以证明并不显然)
如果\(p\mid a_1\)，那么证明结束。
如果\(p\nmid a_1\)
那么就有线性方程：
\(p*x+a_1*y = 1\)
随意一组解\((x,y)\)
两边乘以\(a_2\)
\(a_2*p*x+a_2*a_1*y = a_2\)
就有\(p\mid a_2\)
Q.E.D.

。。。在数学竞赛室看到了这样一道题。

求\(6^{10}\)正因子的个数
然而接着道题的定理已经在我的脑子里根深蒂固了，以至于我不会证明。
待补