[SDOI2005]反素数

Posted 2020-09-26 Z-Y-Y-S

题目描述

对于任何正整数x，其约数的个数记作g(x)。例如g(1)=1、g(6)=4。

如果某个正整数x满足：g(x)>g(i) 0<i<x，则称x为反质数。例如，整数1，2，4，6等都是反质数。

现在给定一个数N，你能求出不超过N的最大的反质数么（即后面没有g比它大的）,如有多个，则去最小？

输入输出格式

输入格式：

一个数N（1<=N<=2,000,000,000）。

输出格式：

不超过N的最大的反质数。

输入输出样例

输入样例#1：

1000

输出样例#1：

840

 题解：

搜索+数论

可知一个数分解为x=p1^q1*p2^q2*p3^q3...时

因数个数为(q1+1)*(q2+1)*(q3+1)....

解释一下题意：

假设ans<ans2，g(ans)==g(ans2),

因为不满足g(ans)<g(ans2),所以ans后没有反质数。所以搜索时除取最大的g值时

还要判断g值相同时的反质数大小。

预处理出13个质数，因为13个质数积大于2e9，在处理出n之内prime[i]^j的值

存在p[i][j]里。

搜索每一个质数的指数。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstring>
 5 using namespace std;
 6 long long n,p[21][40],anss,ans=2e9;
 7 int prime[21];
 8 void dfs(int x,long long num,long long sum)
 9 {int i;
10     if (sum>n) return;
11     if (num>anss)
12         {
13             anss=num;
14             ans=sum;
15         }
16         if (num==anss)
17         {
18             ans=min(ans,sum);
19         }
20     if (x>13)
21     {
22         return;
23     }
24     for (i=1;i<=36;i++)
25     {
26     if (p[x][i]==0) break;
27         if (p[x][i]&&sum*p[x][i]<=n)
28         {
29             dfs(x+1,num*(i+1),sum*p[x][i]);
30         }    
31     }
32 }
33 int main()
34 {int i,j;
35     cin>>n;
36     prime[1]=2;prime[2]=3;prime[3]=5;prime[4]=7;
37     prime[5]=11;prime[6]=13;prime[7]=17;prime[8]=19;
38     prime[9]=23;prime[10]=29;prime[11]=31;prime[12]=37;
39     prime[13]=41;
40     for (i=1;i<=13;i++)
41     {
42         long long x=1;
43         for (j=1;j<=36;j++)
44         {x*=prime[i];
45             if (x>n) break;
46          p[i][j]=x;
47         }
48     }
49   dfs(1,1,1);
50   cout<<ans;
51 }