HDU 4704 Sum（隔板原理+组合数求和公式+费马小定理+快速幂）

Posted 2020-09-26 Annetree的博客

题目传送：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704

Problem Description

 

 

Sample Input

2

Sample Output

2

Hint

1. For N = 2, S(1) = S(2) = 1.

2. The input file consists of multiple test cases.

 

题意是输入一个N,求N被分成1个数的结果+被分成2个数的结果+...+被分成N个数的结果，N很大

 

1.隔板原理

1~N有N个元素，每个元素代表一个1.分成K个数，即在(N-1)个空挡里放置（K-1）块隔板

即求组合数C(N-1,0)+C(N-1,1)+...+C(N-1，N-1)

 

2.组合数求和公式

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+.+C(n,n)=2^n

证明如下：

利用二项式定理（a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2 +.+C(n,n)b^n
令a=b=1左边就是2^n

所以题目即求2^（n-1）%（1e9+7）

设MOD为1e9+7

 

3.费马小定理（降幂）

因为N很大，所以需要费马小定理来降幂

费马小定理是假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

所以可以把（n-1）对(MOD-1)取余 设余数为K 因为2^（MOD-1）%MOD =1

题目即求2^K %MOD

 

4.快速幂求解

现在K<=MOD，快速幂的复杂度是O(log?N)，直接套模板就行

 

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<string.h>
 5 using namespace std;
 6 
 7 #define MOD 1000000007  
 8 
 9 long long quick_mod(long long a,long long b,long long m)//快速幂，复杂度log2n
10 {
11     long long ans=1;
12     while(b)
13     {
14         if(b&1)
15         {
16             ans=(ans*a)%m;
17             b--;
18         }
19         b/=2;
20         a=a*a%m;
21     }
22     return ans;
23 }
24 
25 int main()
26 {
27     
28     char str[100010];
29     long long sum;
30     int len,i;
31     long long M=MOD-1;
32     while(scanf("%s",str)!=EOF)
33     {
34         len=strlen(str);
35         sum=0;
36         for(i=0;i<len;i++)
37         {
38             sum=sum*10+(str[i]-‘0‘);
39             sum=sum%M;//费马小定理
40         }
41         printf("%lld\n",quick_mod(2,(sum-1),MOD));//快速幂
42     }
43     return 0;
44 }