HDU 4059：The Boss on Mars（数学公式+容斥原理）

Posted 2020-09-17 Shadowdsp

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4059

题意：给出一个n，求1~n里面与n互质的数的四次方的和是多少。

思路；不知道1~n的每个数的四次方的求和公式。看的是这篇：http://blog.csdn.net/acm_cxlove/article/details/7434864。

求和公式：(1^4+2^4+……+n^4)=(n*(n+1)*(2n+1)*(3*n*n+3*n-1))/30;

然后先求出1~n的每个数的四次方的求和，然后再减去n的因子的四次方的求和。

把n的因子的质因子找出来，然后使用容斥原理去做。

容斥原理里面有一个点：例如要求所有2的倍数的因子，n是8的话，就有因子2，4，6，8，求这些的四次方的和就可以转化为2 ^ 4 * (1 ^ 4 + 2 ^ 4 + 3 ^ 4 + 4 ^ 4)。就是f_pow(prime[i], 4) * calsum(n / prime[i])。

除以30就是乘以30的逆元，就是f_pow(30, MOD-2);

 

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long LL;
 4 const int MOD = 1e9 + 7;
 5 const int N = 1e5 + 10;
 6 // (1^4+2^4+……+n^4)=(n*(n+1)*(2n+1)*(3*n*n+3*n-1))/30;
 7 LL inver, n;
 8 int prime[N], not_prime[N], cnt;
 9 vector<LL> fac;
10 
11 void Biao() {
12     cnt = 0;
13     for(int i = 2; i <= N; i++) {
14         if(not_prime[i]) continue;
15         prime[cnt++] = i;
16         for(int j = 2 * i; j <= N; j += i) not_prime[j] = 1;
17     }
18 }
19 
20 LL f_pow(LL a, LL b) {
21     LL ans = 1;
22     a %= MOD, b %= MOD;
23     while(b) {
24         if(b & 1) ans = ans * a % MOD;
25         a = a * a % MOD;
26         b >>= 1;
27     }
28     return ans % MOD;
29 }
30 
31 LL calsum(LL n) {
32     LL ans = n;
33     ans = ans * ((n + 1) % MOD) % MOD;
34     ans = ans * ((2 * n + 1) % MOD) % MOD;
35     ans = ans * (((3 * n * n % MOD) + (3 * n % MOD) - 1 + MOD) % MOD) % MOD;
36     ans = ans * inver % MOD;
37     return ans;
38 }
39 
40 void solve() {
41     fac.clear();
42     LL tmp = n;
43     for(int i = 0; i < cnt; i++) {
44         if(tmp % prime[i] == 0) {
45             fac.push_back(prime[i]);
46             while(tmp % prime[i] == 0) tmp /= prime[i];
47         }
48     }
49     if(tmp > 1) fac.push_back(tmp);
50     LL ans = calsum(n);
51     int sz = fac.size();
52     for(int st = 1; st < (1 << sz); st++) {
53         int num = 0, bit = 0; LL now = 1;
54         while((1 << bit) <= st) {
55             if(st & (1 << bit)) num++, now *= fac[bit];
56             bit++;
57         }
58         LL res = f_pow(now, 4LL) * (calsum(n / now) % MOD) % MOD;
59         if(num % 2) ans = (ans - res + MOD) % MOD;
60         else ans = (ans + res + MOD) % MOD;
61     }
62     printf("%lld\n", ans);
63 }
64 
65 int main() {
66     inver = f_pow(30LL, MOD - 2);
67 //    printf("%lld\n", inver);
68     Biao();
69     int t; scanf("%d", &t);
70     while(t--) {
71         scanf("%lld", &n);
72         solve();
73     }
74     return 0;
75 }