hdu 4828 Grids (卡特兰数)

Posted 2020-09-25 simpleknight

题意：度度熊最近很喜欢玩游戏。这一天他在纸上画了一个2行N列的长方形格子。他想把1到2N这些数依次放进去，但是为了使格子看起来优美，他想找到使每行每列都递增的方案。不过画了很久，他发现方案数实在是太多了。度度熊想知道，有多少种放数字的方法能满足上面的条件？

思路：

         思路基本没有，看的其他人的题解才知道是应用卡特兰数的题

         我们假设0代表这个数放在第一排，1代表这个数放在第二排，如果序列00001111

         就是  1 2 3 4

                  5 6 7 8 

         序列01010101  就是 1 3 5 7

                                        2 4 6 8

          这个问题就转化成有几种满足题目条件的01序列，通过观察发现每个位置之前0的个数大于等于1的个数

          如果把0看成入栈，1看成出栈,

          这个问题变转化成n个数的入栈的出栈次序的种类数，也就是卡特兰数

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
const int maxn=2000000;
ll fact[maxn+5];
ll inv[maxn+5];

ll qmod(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    a=a%mod;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=(ans*a)%mod;
        }
        b=b/2;
        a=(a*a)%mod;
    }
    return ans;
}

ll init()
{
    fact[0]=1;inv[0]=1;
    for(ll i=1;i<=maxn;i++)
    {
        fact[i]=(fact[i-1]*i)%mod;
        inv[i]=qmod(fact[i],mod-2);
    }
}

ll catalan(ll n)
{
    return (((((fact[2*n]*inv[n])%mod)*inv[n])%mod)*qmod(n+1,mod-2))%mod;
}

int main()
{
    int t,cas=1;
    init();
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        ll n;
        scanf("%lld",&n);
        printf("Case #%d:\n%lld\n",cas++,catalan(n));
    }
    return 0;
}