Hihocoder #1527 : 快速乘法 DP

Posted 2020-09-25 Meek

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描述

在写代码时，我们经常要用到类似 x × a 这样的语句( a 是常数)。众所周知，计算机进行乘法运算是非常慢的，所以我们需要用一些加法、减法和左移的组合来实现乘一个常数这个操作。具体来讲， 我们要把 x × a 替换成：(x<<a0) op1 (x<<a1) op2 (x<<a2) ... opn (x<<an) 这样的形式，其中opi 是+或者-。

举个例子：x × 15 = (x<<4) - (x<<0)。

在本题中，假设左移（包括左移0）和加法、减法所需要的时间都是一个单位的时间，上述的例子所需要的时间是3。

现在给定常数 a 的二进制形式，求实现 x × a 最少需要多少单位的时间。

输入

一个01串，表示 a 的二进制形式，从左到右分别是从高位到低位。

0 < 01串的长度之和 ≤ 106。

a > 0。

输出

输出一个数，表示最小需要多少单位的时间可以实现 x × a。

样例输入

1111

样例输出

3

 

题解：

　　令f[i][j]表示考虑高于i位，过剩 j*2^i

　　 转移考虑i-1位 加还是减就好了

　　时间复杂度O(n);

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define ls i<<1
#define rs ls | 1
#define mid ((ll+rr)>>1)
#define pii pair<int,int>
#define MP make_pair
typedef long long LL;
const long long INF = 1e18+1LL;
const double Pi = acos(-1.0);
const int N = 1e6+10, M = 1e3+20,inf = 1e9,mod = 1e9+7;

char a[N];
int dp[N][2],n;
int main() {
    scanf("%s",a+1);
    n = strlen(a+1);
    a[n+1] = ‘0‘;
    dp[0][0] = -1,dp[0][1] = 1;
    for(int i = 1; i <= n+1; ++i) dp[i][0] = inf, dp[i][1] = inf;
    for(int i = 0; i <= n; ++i) {
        if(a[i+1] == ‘1‘) {
            dp[i+1][0] = min(dp[i+1][0],dp[i][0]+2);
            dp[i+1][1] = min(dp[i+1][1],dp[i][1]);
            dp[i+1][0] = min(dp[i+1][0],dp[i][1]+2);
        }
        else {
            dp[i+1][0] = min(dp[i+1][0],dp[i][1]+2);
            dp[i+1][0] = min(dp[i+1][0],dp[i][0]);
            dp[i+1][1] = min(dp[i+1][1],dp[i][0]+2);
            dp[i+1][1] = min(dp[i+1][1],dp[i][1]+2);
        }
    }
    printf("%d\n",max(0,(dp[n+1][0])));
    return 0;
}