从匈牙利算法到Kuhn-Munkres算法

Posted 2020-09-24 stackupdown

    匈牙利算法要解决的是这样的问题，比如一群男生女生,男生是否有缘可以跟自己喜欢的人在一起。

当然我们简化成集合符号A和B, A和B的大小可以不同，我们只想知道最后按照喜欢的人在一起的话,最多有几对。

    匈牙利算法从0开始构建匹配的可能性。如果男生Ai喜欢女生Bj而且女生Bj未匹配，那么她当然可以跟男生Ai在一起了。

但是不要慌，后面的情况还可能变化，Ai可能Bj+1在一起，但是我们保证结果是每次都比原来的成功数要大的。

    匈牙利算法当然是解决图论的问题，这里不用A,B了——X和Y两个

    从X开始,每次找到一个未配对的点u

    抽象的说，是我们在X这边保存了已经访问过的点S,在Y这边类似有T，从u点开始S和T都不断增大，每次只增大1,增大

的规则是u的邻接点y如果已经匹配z，就把y加到T，z加到S，下一步的操作，是换个u, 再将T中没有访问过的点再次考查

一遍。如果y没有匹配，那正好，根据你的访问规则，这个时候u和y肯定可以配对的，这样就可以增加配对了。

    我们的工作是为了让配对的个数越来越多，直到最后不能再配对。不能配对的判定就是Hall定理,S的邻接点刚好是T。

    由于这个问题实在太过常见，以至于很多人还是像我10分钟前想的例子一样老掉牙。我们还是想个其他的抽象吧。

    可能有人会希望说我们可以改成公司面试应聘者，多个公司跟多个应聘者匹配啊。对哦，前提是你们不要拿了offer就跑掉了。

　对了你有没有想到前面说的是男生喜欢女生？如果是这样的话说明什么？我们忽略了方向。所以这个也是一厢情愿的说。

　好了另外一个例子，如果东南亚n国希望出口椰子岛中国各y省，但是一个省只能跟一国签约（现实中没有的）。这个也是

一种问题。那好的，我们现在定个价格，让总的价格最大（喂喂喂），这不是对我们来说的，是对东南亚各国来说的。

　这个就是可以抽象成Kuhn-Munkres算法了。

　对我来说这个问题比较好理解，但是算法比较难证明。看起来就是一个算法的问题。

　我们要设计一个给X,Y标号的函数l，比如 l(x) = 1，然后根据这个函数再多次应用匈牙利算法——多次是感觉得多大？

　当然，这个函数前人已经设计好了。在每次迭代的时候，我们要根据w(xy)跟l(x)+l(y)的关系得到一个生成子图G（就是满足条件的x和y和这些边）,然后找最大匹配。当我们经过很多次的匈牙利算法就可以得到最终的结果了。

　文章需要配图吗？我随便写的。先这样吧。

    关于匈牙利算法，维基百科有很好的解释，离散数学的课本一般也有介绍。另外Byvoid也有说过。