扩展欧几里德

Posted 2020-09-24 HWIM

扩展欧几里德

ax=b(mod c),求最小的x

先说一下扩展欧几里得定理：对于不完全为0的整数a，b，gcd（a，b）表示a，b的最大公约数。那么一定存在整数x，y使得gcd（a，b）=ax+by。

求解x，y方法：设 a>b。 　　

1，显然当b=0，gcd（a，b）=a。此时x=1，y=0；

2，ab!=0时设ax1+by1=gcd(a,b)；

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)；

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b)；

则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2；

即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2； 

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2；       

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2。上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。  

扩展欧几里得代码

 1 int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
 2 {
 3     if(b==0)
 4     {
 5         x=1;
 6         y=0;
 7         return a;
 8     }
 9     int r=exgcd(b,a%b,x,y);
10     int t=x;
11     x=y;
12     y=t-a/b*y;
13     return r;
14 }

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