线性规划算法原理介绍

Posted 2020-09-23

线性规划定义：

求满足约束的最优目标，目标是变量的线性函数，约束是变量的相等或不等表达式。

单纯形算法

1 松弛变量 为将不等式转化为等式添加的非负变量 
比如 将f(xi) >0 变成 xj= f(xi) ,那么xj就是松弛变量

主元操作（pivot）

1 任意在目标函数中系数为正的基本变量x_i， 计算对其约束最紧的松弛变量y_j 
2 将yj= f(x) 转换成 xi = f(x,yj) 
3 将上式代入其余约束和目标函数 ，从而生成新的线性方程组

单纯形算法（simplex）

1 将标准型转化为基本解可行的松弛型 
2 如果目标函数里还有正系数，就执行主元操作 
3 按照基本解，求基本变量和目标值，即位最优解

单纯形算法证明：

求证： 如果线性规划有最优解，那么单纯形算法得到的解一定是最优解；如果线性规划没有最优解，那么单纯形算法一定会返回无解 
已知： 
1 松弛变量>0 
2 第一步转化好松弛型，其基本解可行 
证明： 
如果线性规划没有最优解，那么单纯形算法一定会返回无解 
证明： 因为基本解可行，所以一定有解 
如果线性规划有最优解，那么单纯形算法得到的解一定是最优解 
证明： 
1 目标函数都是等价变换的，不会影响其值 
2 最后目标函数系数都是负的，而基本变量和松弛变量都是非负数

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