图论 Dijkstra+堆优化

Posted 2020-09-22 dancer16

dijkstra是一种单元最短路径算法，其能在较好时间复杂度内处理这一问题。但其对负权圈的处理让人不太满意——会陷入死循环

其思想和Prim算法差不多，都是贪心。

把图中的所有点划分为两个集合：包含远点S和不包含原点S的

每次从不包含原点S的集合中找出一个离原点S最近的点（这样就没有点能够比这个点更加接近原点，这也是其不能处理负权边的原因）

我们先考虑简单一点的情况：没有负权边

设u是不包含s中dist最小的那个点，另外v是不包含S中的任意点

如果v能更新u点<==>dist[v]+map[v][u]<dist[u];因为map[v][u]>0所以有dist[v]<dist[u]假设不成立

所以我们就有一个算法啦

1.每次找出不包含S中最近点，加入包含s的集合

2.维护所有和这个店相连的不在包含s的集合里的点到原点的距离（Prim维护的是到包含S的集合的距离）

时间复杂度Θ（n^2）比较优，适合稠密图。

但我们发现每次找一个最近点有点耗时，因为要支持减值和求最小的操作，就用优先队列啦

（优先队列在小根堆情况下支持降值，大根堆下支持升值）但优先队列里的元素有O（E）个开空间时需注意~~

上代码~

转自HK大神的blog，对于重载（）不是很懂

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
using namespace std;
int n,m,S,tot,Next[500010],head[20000],tree[500010],val[500010];
bool visit[20000];
long long dis[20000];
struct cmp
{
    bool operator()(int a,int b)
    {
        return dis[a]>dis[b];
    }
};
priority_queue<int,vector<int>,cmp> Q;
void add(int x,int y,int z)
{
    tot++;
    Next[tot]=head[x];
    head[x]=tot;
    tree[tot]=y;
    val[tot]=z;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&S);
    tot=0;
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,z;
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        if (x==y) continue;
        add(x,y,z);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) 
    {
        visit[i]=false;
        dis[i]=2147483647;
    }
    Q.push(S);
    dis[S]=0;
    while (!Q.empty())
    {
        int u=Q.top();
        Q.pop();
        if (visit[u]) continue;
        visit[u]=true;
        for (int i=head[u];i;i=Next[i])
        {
            int v=tree[i];
            if (!visit[v]&&dis[v]>dis[u]+(long long)val[i])
            {   
                dis[v]=dis[u]+val[i];
                Q.push(v);
            }
        }
    }
    for (int i=1;i<=n-1;i++) printf("%lld ",dis[i]);
    printf("%lld\n",dis[n]);
    return 0;
}