bzoj-1492 货币兑换Cash ——平衡树维护凸包

Posted 2020-09-21 cxchanpin

题意：

有n天和m的初始金钱，用来购买AB两种纪念券；

n天里每天都有AB的价格。每天能够进行这种操作。

1.卖出手中x%的纪念券(AB分别都卖出x%)。

2.用x的金钱买入纪念券。买入AB券的比例在第i天为Rate i；

求n天过去之后所获得的最大收益。

金钱和券数均为实数；

n<=100 000；

题解：

首先，尽管题中的买入和卖出都是随意数量的。可是相同的纪念券，分几天卖出得到的收 益。一定小于等于直接在一天卖出的收益；

相同。分几天买入也是不如一天花全部钱买入的；

令：

f[i]为第i天的最大收益。

X[i]为第i天将全部钱数都买入得到的A券数。

Y[i]为第i天将全部钱数都买入得到的B券数；

显然X,Y都能够由f[i]得来。

那么转移方程就是：

f[i]=max(f[i-1]，A[i] * X[j] + B[i] * Y[j])；(1<=j< i)；

这样转移是O(n^2)的。所以要对后面枚举j的部分优化；

将f[i]=A[i] * X[j] + B[i] * Y[j]整理；

得到Y[i]=(-A[i]/B[i]) * X[i] + f[i]/B[i]；

这是一个直线方程的形式，而对于固定的i，直线斜率不变，而要最大化截距；

倘若将全部的[1,i-1]的点计算出(x,y)放在坐标系上；

找到最优值相当于在这个上凸包上找到某个点。使截距最大。

那么这个点左面的斜率一定大于当前i的斜率，右面的斜率一定小于当前i的斜率。

所以这事实上就是一个斜率优化的形式；

通常我们做斜率优化都是找到不符合要求的点直接干掉就好的；

由于下一个i的斜率不是递增就是递减；

可是这个-A[i]/B[i]不单调，所以不能O(n)的维护队列处理凸包；

10^5的复杂度是支持O(nlogn)的，所以为了维护凸包能够选择一些数据结构；

那么就维护一个Splay，每一个结点都在凸包上，中序遍历就是按x递增同一时候也按斜率递减的序列；

假设把Splay看做logn，那么每一个点最多进出凸包一次。二分查询斜率共n次。

复杂度O(nlogn)还是听起来非常好的；

可是写起来一点也不好玩！

总之维护凸包时对Splay中点较少时的讨论非常烦。。。

照着对拍调数据改改也就过了。

代码3k+，时间960ms，这个跑的感觉也是挺快的了；

下一篇写写更神的CDQ分治，毕竟数据结构对代码能力要求颇高。

7/17

我被D了。。

。斜率打成了shope，恩应该是slope无误；

代码：

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 110000
#define which(x)	(tr[tr[x].fa].ch[1]==x)
const double INF = 1e100;
const double EPS = 1e-8;
using namespace std;
struct Point
{
	double x, y, s1, s2;
	int fa, ch[2];
}tr[N];
int root, tot;
double f[N], A[N], B[N], R[N], X[N], Y[N];
void get_slope(int a, int b)
{
	if (!a)			tr[b].s1 = INF;
	else if (!b)		tr[a].s2 = -INF;
	else
	{
		if (fabs(tr[a].x - tr[b].x)<EPS)
			tr[a].s2 = tr[b].s1 = (tr[a].y<tr[b].y ? INF : -INF);
		else
			tr[a].s2 = tr[b].s1 = (tr[a].y - tr[b].y) / (tr[a].x - tr[b].x);
	}
}
void Rotate(int x)
{
	int f = tr[x].fa;
	if (!f)	return;
	bool k = which(x);
	tr[f].ch[k] = tr[x].ch[!k];
	tr[x].ch[!k] = f;
	tr[tr[f].fa].ch[which(f)] = x;
	tr[x].fa = tr[f].fa;
	tr[tr[f].ch[k]].fa = f;
	tr[f].fa = x;
}
void Splay(int x, int g)
{
	if (!x)	return;
	while (tr[x].fa != g)
	{
		int f = tr[x].fa;
		if (tr[f].fa == g)
		{
			Rotate(x);
			break;
		}
		if (which(x) ^ which(f))
			Rotate(x);
		else
			Rotate(f);
		Rotate(x);
	}
	if (!g)	root = x;
}
int Pre(int x)
{
	if (!x)	return 0;
	int p = tr[x].ch[0];
	if (!p)	return 0;
	while (tr[p].ch[1])
		p = tr[p].ch[1];
	return p;
}
int Sub(int x)
{
	if (!x)	return 0;
	int p = tr[x].ch[1];
	if (!p)	return 0;
	while (tr[p].ch[0])
		p = tr[p].ch[0];
	return p;
}
int find(int p, double x)
{
	if (!p)	return 0;
	if (x<tr[p].x)
		return find(tr[p].ch[0], x);
	else
	{
		int t = find(tr[p].ch[1], x);
		return tr[p].x>tr[t].x ?
 p : t;
	}
}
void Insert(double X, double Y, int no)
{
	int x = find(root, X), y = 0;
	if (!x)
	{
		x = root;
		while (tr[x].ch[0])
			x = tr[x].ch[0];
		Splay(x, 0);
		y = x, x = 0;
	}
	else
	{
		Splay(x, 0);
		Splay(y = Sub(x), x);
	}
	tr[no].x = X, tr[no].y = Y;
	if (y)	tr[no].fa = y, tr[y].ch[0] = no;
	else	tr[no].fa = x, tr[x].ch[1] = no;
	get_slope(x, no);
	get_slope(no, y);
	if (tr[no].s1 <= tr[no].s2)
	{
		tr[y].ch[0] = 0;
		get_slope(x, y);
		return;
	}
	Rotate(no), Rotate(no);
	root = no;
	x = tr[no].ch[0];
	while (tr[x].s1 <= tr[x].s2&&x)
	{
		y = Pre(x);
		Splay(y, x);
		tr[y].fa = no;
		tr[no].ch[0] = y;
		get_slope(y, no);
		x = y;
	}
	x = tr[no].ch[1];
	while (tr[x].s1 <= tr[x].s2&&x)
	{
		y = Sub(x);
		Splay(y, x);
		tr[y].fa = no;
		tr[no].ch[1] = y;
		get_slope(no, y);
		x = y;
	}
}
int query(double S)
{
	int p = root;
	while (S>tr[p].s1 || S<tr[p].s2)
	{
		if (S>tr[p].s1)	p = tr[p].ch[0];
		else			p = tr[p].ch[1];
	}
	return p;
}
int main()
{
	int n, i, j, k;
	scanf("%d%lf", &n, &f[1]);
	for (i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lf%lf%lf", A + i, B + i, R + i);
	tr[0].x = tr[0].y = -INF;
	Y[1] = f[1] / (A[1] * R[1] + B[1]);
	X[1] = R[1] * Y[1];
	Insert(X[1], Y[1], 1);
	for (i = 2; i <= n; i++)
	{
		j = query(-A[i] / B[i]);
		f[i] = max(f[i - 1], A[i] * X[j] + B[i] * Y[j]);
		Y[i] = f[i] / (A[i] * R[i] + B[i]);
		X[i] = R[i] * Y[i];
		Insert(X[i], Y[i], i);
	}
	printf("%.3lf", f[n]);
	return 0;
}