[BZOJ2458][BeiJing2011]最小三角形

Posted 2020-09-21 xjr_01

[BZOJ2458][BeiJing2011]最小三角形

试题描述

Xaviera现在遇到了一个有趣的问题。
平面上有N个点，Xaviera想找出周长最小的三角形。
由于点非常多，分布也非常乱，所以Xaviera想请你来解决这个问题。
为了减小问题的难度，这里的三角形也包括共线的三点。

输入

第一行包含一个整数N表示点的个数。
接下来N行每行有两个整数，表示这个点的坐标。

输出

输出只有一行，包含一个6位小数，为周长最短的三角形的周长（四舍五入）。

输入示例

4
1 1
2 3
3 3
3 4

输出示例

3.414214

数据规模及约定

100%的数据中N≤200000。

题解

平面分治。类似求平面最近点对。

首先对所有点按 x 坐标排序，每次选取中间的 x 作为分界点（令过这个点的竖直线为中线），左边、右边分别递归求，设求得的答案为 C；然后考虑跨中线的点对答案的贡献，找到中线左右扩展 C / 2 距离的矩形内的所有点，然后用一个边长为 C 的正方形从下往上平移，可以证明每次正方形框住的点只有常数个，暴力求正方形内所有点的答案即可（显然最终答案的那三个点是不可能在这个正方形之外的）。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

int read() {
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c == ‘-‘) f = -1; c = getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x = x * 10 + c - ‘0‘; c = getchar(); }
	return x * f;
}

#define maxn 200010
#define LL long long
const double ooe = 1.0 / 0.0, eps = 1e-5;

struct Vec {
	LL x, y;
	Vec() {}
	Vec(int _, int __): x(_), y(__) {}
	Vec operator - (const Vec& t) const { return Vec(x - t.x, y - t.y); }
	double length() { return sqrt(x * x + y * y); }
	bool operator < (const Vec& t) const { return x != t.x ? x < t.x : y < t.y; }
} ps[maxn], tmp[maxn];
bool cmp(Vec a, Vec b) { return a.y < b.y; }

int n, cnt;

double solve(int l, int r) {
	if(r - l + 1 < 3) return ooe;
	int mid = l + r >> 1;
	double C = min(solve(l, mid), solve(mid + 1, r)), ans = C;
	cnt = 0;
	for(int i = l; i <= r; i++) if(abs(ps[i].x - ps[mid].x) - C * 0.5 <= eps) tmp[++cnt] = ps[i];
	sort(tmp + 1, tmp + cnt + 1, cmp);
	int L = 1, R = 3;
	for(; R <= cnt; R++) {
		while(tmp[R].y - tmp[L].y - C > eps) L++;
		for(int x = L; x <= R; x++)
			for(int y = x + 1; y <= R; y++)
				for(int z = y + 1; z <= R; z++)
					ans = min(ans, (tmp[x] - tmp[y]).length() + (tmp[x] - tmp[z]).length() + (tmp[y] - tmp[z]).length());
	}
	return ans;
}

int main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int x = read(), y = read();
		ps[i] = Vec(x, y);
	}
	
	sort(ps + 1, ps + n + 1);
	
	printf("%.6lf\n", solve(1, n));
	
	return 0;
}