[luoguP2770] 航空路线问题（最小费用最大流）

Posted 2020-09-21 蒟蒻zht的博客

传送门

 

模型

求最长两条不相交路径，用最大费用最大流解决。

实现

为了限制经过次数,将每个点i拆成xi,yi.

1、从xi向yi连一条容量为1,费用为1的有向边(1<i<N),

2、从x1向y1连一条容量为2,费用为1的有向边,

3、从xN向yN连一条容量为2,费用为1的有向边,

4、如果存在边(i,j)(i<j)从yi向xj连一条容量为1,费用为0的有向边.

如果存在边(i,j)(i>j)，那么交换i，j，再连边，因为原题是过去再回来，我们要转换成网络流的图，只求起点到终点的最大费用流。

如果存在边(i,j)(i==1 && j==n) 那么要连一条容量为2，费用为0的边。

因为原题要求最大费用流，所以我们需要将费用取反，求出费用后再取反回来。

求x1到yN的最大费用最大流.若(x1,y1)满流,则有解,答案为最大费用最大流-2;否则,无解.

分析

每条航线都是自西向东，本题可以转化为求航线图中从1到N两条不相交的路径，使得路径长度之和最大。转化为网络流模型，就是找两条最长的增广路。由于每个城市只能访问一次，要把城市

拆成两个点，之间连接一条容量为1的边，费用设为1。因为要找两条路径，所以起始点和终点内部的边容量要设为2。那么费用流值-2就是两条路径长度之和，为什么减2，因为有两条容量为2

的边多算了1的费用。求最大费用最大流后，如果(<1.a>,<1.b>)不是满流，那么我们找到的路径不够2条（可能是1条，也可能0条），所以无解。