图论-最小生成树

Posted 2020-09-20 dancer16

今天听了CLRS的第二作者讲的课程，关于最小生成树的算法。

其实就是先模拟一下小样例（不是单纯模拟，而是发现其中的规律，要思考）

然后发现最优子结构-如果（u,v）是一条唯一连接两点的边，那么将原图拆分为两块（一块包含u，一块包含v），两图分别最优解+dist[u,v]就是原图的最优解了。

然后发现这样做会有很多很多的重叠子问题：把每次的(u,v)换一换顺序就一堆重叠子问题。于是就有动态规划的思路了……

别急！

这里还有一个性质：如果（u,v）在当前图中边权最小，则（u,v）必在此图的最小生成树中。

证明：

我们把此图（V，E）的点集合分为两个点集集合（A,B）且u∈A，v∈B，且A+B=V，A&B=?；则在（V,E）的最小生成树中，必有一条边连接（跨越）A，B两个集合。

然而(u,v)必定比这条边优。所以（u,v）必在此图的最小生成树中。

贪心证明完毕！