浅谈图论——最小生成树

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了浅谈图论——最小生成树相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

写在前面:今天突然发现还没有写过最小生成树的博客,然后调堆优化prim板子好久才调出来……赶紧写篇博客来保命。

 

一、最小生成树概念:

在一个n个点的有向图中,选取n-1条边使所有顶点两两联通,那么这个边集叫做这个图的一个生成树

在所有的生成树中,边权和最小的那一个叫做图的最小生成树。

二、Kruskal算法

求图的最小生成树的常用方法有两种,Kruskal和Prim

kruskal算法的步骤如下:

(1)将所有边按边权从小到大排序

(2)选取一条边权最小两顶点未联通的边并把它连上

(3)重复步骤2,直到连上了n-1条边为止;若所有的边都找完仍未连n-1条边,则图不连通

看图:

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我们对该图进行Kruskal算法:

(1)选取一条边权最小两顶点未联通的边并把它连上

即边1→2

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重复以上步骤:

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下面我们找到最短的边是2→4

我们要连它吗?

不要!

因为点2和点4已经联通,如果再连就会形成环,显然不是最优解。

我们将它跳过,选取2→3

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已选取n-1条边,算法结束。红色边即为图的最小生成树

以上判断两点是否联通可以用并查集来实现

代码如下:

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#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

inline int read()
{
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<0 || ch>9) {if(ch==-) f=-1; ch=getchar();}
    while(ch>=0 && ch<=9) {x=x*10+ch-0; ch=getchar();}
    return x*f;
}

struct node
{
    int u,v,w;
}r[400005];

bool cmp(node a,node b)
{
    return a.w<b.w;
}

int n,m,cnt,ans;
int f[5005];
int i,j;

int f_ancestor(int x)
{
    return x==f[x] ? x : f[x]=f_ancestor(f[x]);
}

int main()
{
    n=read(); m=read();
    for(i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        r[i].u=read();
        r[i].v=read();
        r[i].w=read();
        r[i+m].v=r[i].u;
        r[i+m].u=r[i].v;
        r[i+m].w=r[i].w;
    }
    m*=2;
    sort(r+1,r+m+1,cmp);
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        int f1=f_ancestor(r[i].u),f2=f_ancestor(r[i].v);
        if(f1!=f2)
        {
            f[f2]=f1;
            cnt++;
            ans+=r[i].w;
        }
        if(cnt==n-1) break;
    }
    if(cnt==n-1) printf("%d",ans);
    else printf("orz");//图不连通
    return 0;
}
Kruskal

 kruskal算法的时间复杂度为O(MlogM+并查集查询时间*N)

 

三、Prim算法

Prim算法的步骤如下:

(1)定义两个集合U和V,开始时U集合为空,V集合中有所有点

定义dis数组表示每个点距离U集合中点的最短距离

(2)选取一个未选取过且dis值最小的点(起始时可以是任意点),设该点为点k

(3)将点k加入U集合中

(4)k为中间点,修改V集合中点的dis值。即dis[j]=min(dis[j],w(k,j)) (j为V集合中的点)

(5)重复步骤234,直到U集合中有了n个点(若U集合最后meiyoun个点,则图不连通)

 

看图:

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进行Prim算法

(1)选取任意一个点,如点1

dis赋初值

(2)将点1加入U集合,更新dis值

U={1}

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(3)选取dis值最小的点(点2),将它加入U集合,连接边1→2,更新dis值

ans=1

U={1,2}

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(4)选取dis值最小的点(点5),将它加入U集合,连接边2→5,更新dis值

ans=3

U={1,2,5}

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(5)选取dis值最小的点(点4),将它加入U集合,连接边5→4,更新dis值

ans=5

U={1,2,5,4}

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(6)选取dis值最小的点(点3),将它加入U集合,连接边2→3,更新dis值

ans=10

U={1,2,5,4,3}

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U集合中已有了n个点,算法结束。图中红色部分即为图的最小生成树

 Prim算法的时间复杂度为O((N+M)logM)

 

四、总结

两种算法都是基于贪心的思想

若要彻底掌握这两种算法,不仅要非常熟悉它们的流程,还要会在适当的时刻使用

 

本文部分内容参考《信息学奥赛一本通.提高篇》第三部分第一章 最小生成树

若需转载,请注明https://www.cnblogs.com/llllllpppppp/p/9749533.html

 

~祝大家编程顺利~

以上是关于浅谈图论——最小生成树的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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