51nod 1073约瑟夫环 递归公式法

Posted 2020-09-20 狡啮之仰

约瑟夫环问题的原来描述为，设有编号为1，2，……，n的n(n>0)个人围成一个圈，从第1个人开始报数，报到m时停止报数，报m的人出圈，再从他的下一个人起重新报数，报到m时停止报数，报m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈为止。当任意给定n和m后，设计算法求n个人出圈的次序。  稍微简化一下。

        问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。 

利用数学推导，如果能得出一个通式，就可以利用递归、循环等手段解决。下面给出推导的过程：

        （1）第一个被删除的数为 (m - 1) % n。

        （2）假设第二轮的开始数字为k，那么这n - 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, .....,k - 3, k - 2。做一个简单的映射。

             k         ----->  0 
             k+1    ------> 1 
             k+2    ------> 2 
               ... 
               ... 

             k-2    ------>  n-2 

        这是一个n -1个人的问题，如果能从n - 1个人问题的解推出 n 个人问题的解，从而得到一个递推公式，那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时，最后胜利者的编号为x，利用映射关系逆推，就可以得出n个人时，胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n  <=>  (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n

        （3）第二个被删除的数为(m - 1) % (n - 1)。

        （4）假设第三轮的开始数字为o，那么这n - 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,......o - 3, o - 2.。继续做映射。

             o         ----->  0 
             o+1    ------> 1 
             o+2    ------> 2 
               ... 
               ... 

             o-2     ------>  n-3 

         这是一个n - 2个人的问题。假设最后的胜利者为y，那么n -1个人时，胜利者为 (y + o) % (n -1 )，其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)

         要得到n - 1个人问题的解，只需得到n - 2个人问题的解，倒推下去。只有一个人时，胜利者就是编号0。下面给出递推式：

          f [1] = 0; 
          f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1) 

        有了递推公式，实现就非常简单了，给出循环的两种实现方式。再次表明用标准库的便捷性。

 

对于上面第一个映射表，由映射关系可得，如果0~n-1中某人报了m-1,设这个人为x,那么原位置一定是(x+k)%n

相信大家都能看出规律，为什么要%n，因为后面的序号不会一直无限制增大，会变小，比如4,5,6,7,1,2,那么1和2就是（4+4）%7，（4+5）%7

 

附上代码，当然这题也可以递归推一推，但没有必要

#include <stdio.h>

using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int f[maxn];
int main(){
    int n,k;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    f[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        f[i]=(f[i-1]+k)%i;
    }
    printf("%d",f[n]+1);
    return 0;
}