关于子集数证明的一个延拓

Posted 2020-09-19 milantgh

计数原理：

完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么，完成这件事共有：N=m1+m2+...+mn种不同的方法.

这个原理，看起来比较的复杂，我尝试通过逻辑符号，来重新定义这个原理，但是未成功，诸君可以去研究下，好了，开始切入正题.

计数原理又称加法原理，它不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且是最基本的思想方法.

我们通过计数原理来证明二项式定理，如下：

(a+b)^n=(a+b).(a+b).(a+b)

把所有的括号都展开，比如(1+x)^n，写成n个(1+x)相乘，如果x次数是k，那么就是从n个括号里面选择k个取x，其它取1，总共有C(n,k)种选法，所以系数是C(n,k).

证明：

把这n个式用多项式乘法展开，然后再合并同类项即可.

含0个b，是从n个式子中找0个式子取b，其他都取a，结果是(C(n,0))a^n
(注:C(n,0)指从n个元素中取出0个元素的组合数)
含1个b，是从n个式子中找1个式子取b，其他都取a，结果是(C(n,1))a^n-1.b^1
含2个b，是从n个式子中找2个式子取b，其他都取a，结果是(C(n,2))a^n-2.b^2
...
含1个b，是从n个式子中找一个式子取b，其他都取a，结果是(C(n,n))b^n

n项作和，即为二项式的展开式.

原命题得证.

我们又通过已证二项式定理来证明集合A中，|P(A)|=2^n，如下：

|P(A)|=2^n，概念陈述如下：

一个集合里有n个元素，则它所有子集的数目是2^n，所有真子集数目2^(n-1)(子集除去本身)，所有非空子集数目是2^(n-1)(子集除去空集)，所有非空真子集数目2^(n-2)(子集除去本身和空集).

对于这n个元素随便排个序

第1个元素在或不在子集里，有2种选择
第2个元素在或不在子集里，有2种选择
...
第n个元素也是有在或不在，有2种选择

而每个元素的选择都是独立的

所以，共有2.2....2=2^n种组合
所以，子集有2^n个

证明：

设，集合A中有n个元素，那么：

子集有0个元素时，有C(n,0)个子集
子集有1个元素时，有C(n,1)个子集
子集有2个元素时，有C(n,2)个子集
子集有3个元素时，有C(n,3)个子集
...
子集有n个元素时，有C(n,n)个子集

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...+C(n,n)=2^n.

即，|P(A)|=2^n得证.