计算序列 1,2,3,4,5...（最多 n）的子集数，使得子集的所有元素的 XOR 为奇数

Posted 2023-02-22

【中文标题】计算序列 1,2,3,4,5...（最多 n）的子集数，使得子集的所有元素的 XOR 为奇数

【英文标题】：Count the number of subsets of the sequence 1,2,3,4,5...(up to n) such that the XOR of all elements of the subset is an odd number

【发布时间】：2016-03-09 06:45:41

【问题描述】：

。

例如： 对于序列 1,2,3。

答案是：4

(1,3,1,2,3,2

【问题讨论】：

参考***.com/questions/728972/…>

@KaustubhKulkarni 我不认为他们是同一个问题

OP，n的极限是多少？

@shole 我相信这是这个问题的一个子问题

@Nard 这个问题完全可以通过使用一点数学来解决，而另一个则不需要

【参考方案1】：

子集应该包含奇数个奇数，因为你只关心最后一位，例如：

1 2 3 4 5 
1 - 0001
2 - 0010
3 - 0011
4 - 0100
5 - 0101

1 3 5 - cause those have '1' as last bit itself.

上面带有偶数任意组合的子集：

1,2,4 1,2 1,4 3,2,4... so another 9 subsets
1,3,5 is an odd also.
and variation with even numbers: 1,3,5,2 1,3,5,4 1,3,5,2,4 

所以答案是 16。 与c++无关

您必须按顺序计算偶数的所有可能组合（使用组合，顺序无关紧要）+ 1（使用零偶数时）。计算所有可能的奇数序列（顺序无关紧要）。结果相乘。

1 2 3 4 5
2 4 2,4  = 4 options
1 3 5 1,3,5 = 4 options
4*4 = 16

【讨论】：

我知道它与 c++ 无关。但我必须对其进行编码，因为 n 也可能非常大

Nico Schertler 给你答案 - 2^(n - 1)

【参考方案2】：

如果最后一位被设置，则数字是奇数。我们可以如下使用这个观察：

首先将数字分为偶数和奇数。显然，会有e=floor(n/2)偶数和o=n-e奇数。

选择偶数不会影响结果的奇数。因此，您可以使用任何组合。有n_e = 2^e 这样的组合（其中^ 是幂运算符）。

从剩下的奇数中，你必须选择一个奇数。组合数为n_o = 2^(o-1)。

总共有n_e * n_e = 2^e * 2^(o-1) = 2^(e + o - 1) = 2^(n - 1) 个组合。

【参考方案3】：

首先，我们知道所有偶数都以 0（按位）结尾，所有奇数都以 1 结尾

所以这意味着只有奇数异或偶数会给我们一个奇数。

考虑一个包含m偶数和n奇数的集合，

由于 XOR 具有交换性和关联性，因此 XOR 的顺序并不重要，我们可以观察到以下几点：

我们需要奇数个奇数（至少需要一个，它们相互异或时会给我们一个奇数）

偶数的个数对答案没有影响（我们可以选择任何可能的偶数，甚至 0，当它们相互异或时，它们会给我们一个偶数）

李>

结合1和2，我们对整个集合进行异或得到一个奇数。

现在，有多少种组合？

设m 为偶数总数，n 为奇数总数

对于 1，有 M = mC1 + mC3 + mC5... = 2^(m-1) 选择

对于 2，有 N = nC0 + nC1 + ... = 2^n 选择

所以答案是M*N = 2^(m+n-1)

注意m+n = 你的整数范围，所以可以进一步简化为2^(size-1)

例如：1,2,3,4,5：m =2, n=3，所以答案是 2^4 = 16

【讨论】：

我喜欢将第 2 部分的计数视为包含或排除 n 个值中的每一个，这显然是 2^n 个可能性。可以类似地获得第 1 部分 - 您可以包含或排除第一个 m-1 值中的每一个，然后通过确保选择奇数来确定是否包含第 m 个值 - 这显然是 2^(m-1)可能性。

@MichaelAnderson 谢谢！子集概念的基本总数 # 在这里也有效 :) 我的意图只是展示如何分离 2 个独立部分并一个一个地计算它们