欧几里得算法以及扩展欧几里得算法（过河noip2005提高组第二题）

Posted 2020-09-19

欧几里得算法：也被称作辗转相除法

gcd(a,b)=gcd(b,a%b);

终止条件a=gcd b=0;

(gcd为a，b的最大公约数）

 

扩展欧几里得算法： a 和 b 的最大公约数是 gcd ，一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 成立

我们只需要找到特殊解x0,y0;

则通解为 x = x0 + (b/gcd)*t    y = y0 – (a/gcd)*t

那如何求出下一组解呢

仿照欧几里得算法a=b,b=a%b代入。

a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除）可以得到：

        gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1

            = b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1

            = a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)

对比易得      x = y1

                  y = x1 – a/b*y1

终止为    a*1 + b*0 = gcd即a的系数为1，b的系数为0或者其他值（*0=0）

我们再看过河这个问题 设a=s,b=s+1,ax+by=n a,b的最大公约数为1因为是相邻的自然数

ax+by=n是由ax+by=1(1为最大公约数)de系数*n得到的。

未完待续。