扩展欧几里得算法学习记

Posted 2020-08-07 lcf2000

　　话说以前我刷noip题的时候就想学这个东西了，结果却一直拖到了现在……

　　到了高二才会这种东西的我实在是个蒟蒻啊！

　　将扩展欧几里得算法之前，先讲讲欧几里得算法是什么：gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。很显然是不？但我们还是要给出证明(设r=a%b)：

　　设x是a，b的一个公约数，由于存在k使得a=k*b+r，又由于a|x，b|x，则有r|x，所以x是b，r的公约数

　　设x是b，r的一个公约数，因为存在k使得a=k*b+r，且b|x，r|x，那么a|x，所以x是a，b的公约数

　　综上所述，a和b的所有公约数 等于 b和a%b的所有公约数，于是得证。

 

　　所以，扩展欧几里得算法又是什么呢？这个算法就是用来求出整数解x，y，使得gcd(a,b)=a*x+b*y。

　　那么，如何求呢(用到的除号皆为整除，即1/3=0,6/4=1)？

　　①显然当b=0时有：x=1，y=0

　　②设r=a%b，有r=a-(a/b)*b

　　　　由于gcd(a,b)=a*x+b*y=gcd(b,r)

　　　　又因为gcd(b,r)=b*x1+r*y1

　　　　于是有a*x+b*y = b*x1+r*y1 = b*x1+(a-(a/b)*b)*y1 = y1*a+(x1-(a/b)*b)*b

　　　　所以x=y1，y=x1-(a/b)*b

　　　　递归地求下去即可

 

　　待更ing……