利用扩展的欧几里得算法求逆元
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了利用扩展的欧几里得算法求逆元相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
参考技术A 首先说一下逆元的定义。
存在一个数a使得a x对y进行取余运算，得到的值是一，则成为a是x的逆元。在数学中记做
a * x = 1(mod p)
例如x = 4，y = 11，3 x = 1(mod y)，3 4=12,12 mod 11 = 1,3就是x的逆元。
对于求逆元这一操作在计算机领域主要用于非对称加密，如我们常见的RSA加密算法等。
那应该求得这个逆元呢，我们知道，再求两个数的最大公约数的时候可以用欧几里得算法。
在欧几里得算法中，通过辗转相除，当余数为0的时候最后的除数就是两个数的最大公约数。
而在其扩展算法中，我们已知两个数的最大公约数，我们已知 a x = 1(mod p),
展开就是 a x mod p = 1，首先我们先求 p = x1 * a + p1，然后p = a，a = p1，迭代下去
知道pi = 1（i表示出了i次）为之，然后就可以得出 1 = p - xi * a，此时的a和p已经不是我们初始的a和p了，我们需要往前推，推到 1= y p + x*a 为止，此时得出的x就是a的逆元，当然如果逆元x为负数，或者比p大，要对其就行取余操作。
举个例子 11 = 1(mod 20)求11的逆元
20 = 1 * 11 + 9 //注释：此时x1 = 1， a = 11，p = 20，p1 = 9，执行p = a，a = p1
11 = 1 * 9 + 2 //注释：x2 = 1，a = 9，p2 = 2。
9 = 2 * 4 + 1 //注释：p3 = 1，
1 = 9-2 * 4。
从上述式子中可以得知 9 = 20-11
1 = 20-11-2 * 4
同时 2 = 11 -9
1 = 20 -11 -4 * (11-9)
已知 9 = 20 - 11
1 = 20 -11 -4 * (11-(20-11))
1 = 20 -11 -4 * (11-20+11)
合并同类项得
1 = 5 * 20 - 9 * 11
1 = y * 20 + x * 11
x为a的逆元 x = -9
x对p取余，x = 11
验证 11 * 11 = 121，121 mod 20 = 6 --- 1
到此 计算结束
求逆元的四种算法（拓欧费马小线性推欧拉）
求逆元的四种算法
拓展欧几里得算法求逆元
上一篇博客中已经讲过拓展欧几里得算法，并且讲解了求逆元的原理。这里只列出代码
在要求逆元的数与p互质时使用
代码
//扩展欧几里得定理
int ex_gcd(int a,int b,int& x,int& y)
if(b==0)
x=1;
y=0;
return a;
int ans = ex_gcd(b,a%b,x,y);
int tmp = x;
x = y;
y = tmp-a/b*y;
return ans;
int cal(int a,int m)
int x,y;
int gcd = ex_gcd(a,m,x,y);
//cout << "a " << a << " m " << m << " x " << x << " y " << y << endl;
if(1%gcd!=0) return -1;
x*=1/gcd;
m = abs(m);
int ans = x%m;
if(ans<=0) ans += m;
return ans;
费马小定理求逆元
在p是素数的情况下，有\\(a^p-1\\equiv1(\\mod p)\\)，即\\(a^p-2a\\equiv1(\\mod p)\\)。所以a模p的逆元是\\(a^p-2\\)，可用快速幂求解。
代码
//费马小定理
long long q_pow(long long a,long long b,long long p)
long long res = 1;
while(b)
if(b&1)
res = (res*a)%p;
a = (a*a)%p;
b>>=1;
return res;
long long inverse(long long a,long long p)
return q_pow(a,p-2,p);
线性递推求逆元
在p为质数且需要一次性打出[1,p-1]的所有逆元时可以使用
公式推导：现在求k的逆元
令\\(ak+b=p\\)，
\\(b*inv[b]\\equiv1\\mod p\\)
\\((p-ak)*inv[b]\\equiv1\\mod p\\)
\\((p*inv[b]-ak*inv[b])\\equiv1\\mod p\\)
因为\\(p*inv[b]\\equiv0\\mod p\\)
有\\(-ak*inv[b]\\equiv1\\mod p\\)
又\\(b=p\\%k\\)
有\\(-ak*inv[p\\%k]\\equiv1 mod p\\)
又\\(ak+b=p,所以a=p/k(整除)\\)
即\\(-(p/k)*inv[p\\%k]*k\\equiv1\\mod p\\)
所以有\\(inv[k]=-(p/k)*inv[p\\%k]\\)
使用的时候加上p去掉负号
代码
//线性递推
int inv[max_n];
void ksm(int p)
inv[1] = 1;
for(int i = 2;i<=p-1;i++)
inv[i] = (p-p/i)*inv[p%i]%p;
欧拉定理求逆元
在p为非质数时使用
欧拉定理表明，a,p互质时，有\\(a^\\phi(p)\\equiv1(\\mod p)\\)，则a模p的逆元为\\(a^\\phi(p)-1\\)。求出欧拉函数后可用快速幂求得逆元。
代码
原理是\\(\\phi(n)=n*\\prod_i=1^k(1-\\frac1factor[i])\\)。factor[i]表示n的因子
//欧拉函数
int phi(int x)
int ans = x;
for(int i = 2;i*i<=x;i++)
if(x%i==0)
ans = ans/i*(i-1);
while(x%i==0) x/=i;
if(x>1)
ans=ans/x*(x-1);
return ans;
还有一种欧拉筛法，批量求欧拉函数，类似于埃氏筛
代码
//欧拉筛法
int Phi[max_n];
void euler(int N)
Phi[1] = 1;
for(int i = 2;i<N;i++)
if(!Phi[i])
for(int j = i;j<N;j+=i)
if(!Phi[j])
Phi[j] = j;
Phi[j] = Phi[j]/i*(i-1);
另一种更高效的筛法
原理：
p为质数，\\(\\phi(p)=p-1\\)，
if\\(i\\%p==0\\),then \\(\\phi(i*p)=\\phi(i)*p\\)
if \\(i\\%p!=0\\),then \\(\\phi(i*p)=\\phi(i)*(p-1)\\).
代码
//更快的欧拉筛
int tot = 0;//质数个数
int prime[max_n];//质数
void Euler(int N)
Phi[1] = 1;
for(int i = 2;i<N;i++)
if(!Phi[i])
Phi[i] = i-1;
prime[tot++] = i;
for(int j = 0;j<tot&&(long long)i*prime[j]<N;j++)
if(i%prime[j])
Phi[i*prime[j]] = Phi[i]*(prime[j]-1);
else
Phi[i*prime[j]] = Phi[i]*prime[j];
break;
还有一种似乎表面上原理不同，但实现与上面相似的欧拉筛,这次是直接求出[1,p-1]逆元的那种。
逆元有个性质：
\\(inv[a]*inv[b]=inv[a*b]\\)
因为\\(a*inv[a]\\equiv b*inv[b]\\equiv1(\\mod p)\\).
则\\(ab*inv[a]*inv[b]\\equiv1(\\mod p)\\),
即\\(inv[a*b]=inv[a]*inv[b]\\).
所以对于每个合数 ，我们把所有它的因子的逆元筛出来再相乘即可。
所以我们可以直接把所有素数筛出来，对它们求逆元（拓欧或费马小定理），再把它的逆元乘给它的倍数就可以了。
//另一种欧拉筛
int vis[max_n];
int inv[max_n];
int prime[max_n];//prime[0]记录质数个数
void EUler(int p)
vis[1] = 1;
inv[1] = 1;
for(int i = 2;i<=p-1;i++)
if(!vis[i])
prime[++prime[0]] = i;
inv[i] = q_pow(i,p-2,p);
for(int j=0;j<prime[0];j++)
if(i*prime[j]>p) break;
inv[i*prime[j]]=inv[i]*inv[prime[j]];
if(i%prime[j]) break;
写着写着老是有一种“回字的四种写法”的感觉ε=(′ο｀*)))
参考文章
x义x的博客，【x义x讲坛】浅谈模质数意义下的乘法逆元，https://www.luogu.org/blog/zyxxs/post-xiao-yi-jiang-tan-qian-tan-sheng-fa-ni-yuan#
镜外，ACM数论之旅7---欧拉函数的证明及代码实现（我会证明都是骗人的╮(￣▽￣)╭），https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194170.html
Rain722，乘法逆元的几种计算方法，https://blog.csdn.net/Rain722/article/details/53170288
hehe_54321，乘法逆元（欧拉函数,欧拉定理,质数筛法），https://www.cnblogs.com/hehe54321/p/7778955.html
以上是关于利用扩展的欧几里得算法求逆元的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章