bzoj1486[HNOI2009]最小圈 分数规划+Spfa

Posted 2020-09-18 GXZlegend

题目描述

样例输入

4 5
1 2 5
2 3 5
3 1 5
2 4 3
4 1 3

样例输出

3.66666667

---

题解

分数规划+Spfa判负环

二分答案mid，并将所有边权减去mid，然后再判负环，若有负环则调整下界，否则调整上界，直至上下界基本重合。

证明：显然 

由于有(c+d)/(a+b+k)＞(c+d)/(a+b)≥min(c/a,d/b)，所以两个相交环形成的新环一定不是最优解，即答案一定是简单环。

如果存在环使得边权和/点数＜mid，那么就有边权和＜点数*mid。

又因为环中点数和边数相等，所以有边权和小于边数*mid，移项即得：存在负环。

这个时候需要调整上界，进一步更新答案；否则不存在则调整下界。

然后这道题的坑点：需要用dfs版Spfa判负环，据说bfs版会T，不明觉厉。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define eps 1e-9
#define N 3010
#define M 10010
using namespace std;
int n , m , head[N] , to[M] , next[M] , cnt , x[M] , y[M] , vis[N];
double len[M] , dis[N] , z[M];
void add(int x , int y , double z)
{
    to[++cnt] = y , len[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
}
bool dfs(int x)
{
    int i;
    vis[x] = 1;
    for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
    {
        if(dis[to[i]] > dis[x] + len[i])
        {
            dis[to[i]] = dis[x] + len[i];
            if(vis[to[i]]) return 1;
            if(dfs(to[i])) return 1;
        }
    }
    vis[x] = 0;
    return 0;
}
bool judge(double mid)
{
    int i;
    memset(head , 0 , sizeof(head));
    memset(vis , 0 , sizeof(vis));
    memset(dis , 0 , sizeof(dis));
    cnt = 1;
    for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) add(x[i] , y[i] , z[i] - mid);
    for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) if(dfs(i)) return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    int i;
    double l = 100000000.0 , r = -100000000.0 , mid;
    scanf("%d%d" , &n , &m);
    for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%d%lf" , &x[i] , &y[i] , &z[i]) , l = min(l , z[i]) , r = max(r , z[i]);
    while(l <= r)
    {
        mid = (l + r) / 2;
        if(judge(mid)) r = mid - eps;
        else l = mid + eps;
    }
    printf("%.8lf\n" , (l + r) / 2);
    return 0;
}