最小完全图

Posted 2020-09-18 鄉勇

时间限制: 1 s空间限制: 128000 KB题目等级 : 钻石 Diamond

题目描述 Description

若一个图的每一对不同顶点都恰有一条边相连，则称为完全图。

最小生成树MST在Smart的指引下找到了你，希望你能帮它变成一个最小完全图（边权之和最小的完全图）。

注意：必须保证这个最小生成树MST对于最后求出的最小完全图是唯一的。

输入描述 Input Description

第一行一个整数n，表示生成树的节点数。

接下来有n-1行，每行有三个正整数，依次表示每条边的顶点编号和边权。

（顶点的边号在1-n之间，边权<2³¹）

输出描述 Output Description

一个整数ans，表示以该树为最小生成树的最小完全图的边权之和。

样例输入 Sample Input

4

1 2 1

1 3 1

1 4 2

样例输出 Sample Output

12

数据范围及提示 Data Size & Hint

30%的数据：n<1000；

100%的数据：n≤20000，所有的边权<2³¹。

思路

题目意思为加边至图为完全图之后，最小生成树不变；

模拟克鲁斯克莱算法流程；

点集合并时把未直连的边用稍长的边（+1）相连；

代码实现

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=2e4+10;
 6 const int maxm=4e4+10;
 7 long long ans;
 8 int n;
 9 int a,b,c;
10 int h[maxn],hs;
11 struct edge{int s,t,w;}e[maxm];
12 int f[maxn],sz[maxn];
13 int find_f(int k){return f[k]==k?k:f[k]=find_f(f[k]);}
14 bool comp(const edge &x,const edge &y){return x.w<y.w;}
15 int main(){
16     scanf("%d",&n);
17     for(int i=1;i<n;i++){
18         scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
19         e[++hs]=(edge){a,b,c};
20         ans+=c;
21     }
22     sort(e+1,e+hs+1,comp);
23     for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i,sz[i]=1;
24     for(int i=1;i<=hs;i++){
25         a=find_f(e[i].s),b=find_f(e[i].t);
26         f[b]=a;
27         ans+=1ll*(1ll*sz[a]*sz[b]-1)*(e[i].w+1);
28         sz[a]+=sz[b];
29     }
30     cout<<ans<<endl;
31     return 0;
32 }