最大团-最小度不等式
Posted rainybunny
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了最大团-最小度不等式相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
??这是什么奇怪的名字qwq。
一些定义
??只为便于理解，没有苛求专业的定义。
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简单无向图：不存在重边、自环的无向图。
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(delta(G))：无向图 (G) 中结点的最小度数。即 (min{d(u)|uin V})。
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完全图：两两结点都有且仅有一条直接连边的无向图。拥有 (n) 个结点的完全图记作 (K_n)。
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团：(G) 的生成子图且为完全图。
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最大团：是团且结点数最大。
由于没有找到类似的定义，我们定义 (M(G)) 为 (G) 的最大团的结点数。
问题引入
??本来是一道小升初题，不过为了方便叙述以及保护读者的自尊心，我们直接抽象为图论模型。
??给定简单无向图 (G=(V,E))，其中 (|V|=99,delta(G)ge67)，求证 (M(G)ge4)。
证明
??小学二年级的知识呐！
??取 ((v_i,v_j)in E), 令:
??(ecause delta(G)ge67Rightarrow d(v_i),d(v_j)ge67).
??( herefore |A|,|B|ge66).
??对于 (A,B), 有全集 (I={v_k|v_k ot=v_iland v_k ot=v_j}). 则 (|I|=|V|-2=97).
??( herefore |Acap B|gemax{|A|+|B|-|I|,0}=35).
??再取 (sin Acap B).
??(ecause|complement_V(Acap B)|le64<66le d(s)).
??( herefore(exists tin Acap B)left((s,t)in E ight)).
??( herefore) 此时 ({v_i,v_j,s,t}) 在 (G) 中的诱导子图是完全图.
??( hereforedelta(G)ge4). QED.
初步推广
??当 (|V|=1751,delta(G)ge1314)，(M(G)ge5)。
??留作习题owo！
??可以发现，由 (|V|) 和 (delta(G)) 构成的分式似乎会与 (M(G)) 产生联系……
推广结论
??对于任意简单无向图 (G=(V,E))，有：
证明
??令 (n_0=lceilfrac{|V|}{|V|-delta(G)} ceil), 则只需证 ((forall nle n_0)(exists K_n)left(K_nsubseteq G ight)) 即可.
??对 (n) 归纳证明:
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(1).) 当 (n=1), 显然存在 (K_1), 成立.
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(2).) 设 (n=m-1<n_0) 时存在 (K_m), 成立, 考虑 (n=m) 时:
??取任意 (K_msubseteq G), 令为 (K=(V_K,E_K)). 不妨设在 (G) 中, (vin V_K) 的结点为 (v_1,v_2,dots v_m).
??令集合 ({A_m}), 其中 (A_i~(i=1,2,dots,m)) 有:
[A_i={v_j|v_j otin V_kland(v_i,v_j)in E} ]??(ecause|V-V_K|=|V|-m,(forall i)left(|A_i|gedelta(G)-m+1 ight)).
??即全集大小为 (|V|-m), 每个集合大小不小于 (delta(G)-m+1). 由集合交的最小大小公式 ( 自行脑补即可 ), 有:
[|igcap_{i=1}^mA_i|gesum_{i=1}^m|A_i|-(m-1)(|V|-m)\Rightarrow |igcap_{i=1}^mA_i|ge m(delta(G)-m+1)-(m-1)(|V|-m)\Rightarrow |igcap_{i=1}^mA_i|ge mdelta(G)-m|V|+|V| ]??(ecause m<n_0-1).
??( herefore m<frac{|V|}{|V|-delta(G)}Rightarrow m(delta(G)-|V|)+|V|>0Rightarrow mdelta(G)-m|V|+|V|>0).
??( herefore|igcap_{i=1}^mA_i|>0).
??( hereforeexists sin|igcap_{i=1}^mA_i|). 此时 ({v_1,v_2,dots,v_m,s}) 在 (G) 中的诱导子图构成 (K_{m+1}).
??( herefore n=m) 时成立.
??由 (1).~2).) 原命题成立, QED.
结语
??不知道这个结论对最大团算法有没有什么帮助w。
??本文命题及证明过程为笔者独立完成，目前没有在网上找到类似命题。如发现该命题或证明过程存在问题，或命题此前文献中出现，欢迎给笔者留言。
??然而一个初一（现在初二）学生的脑洞也不至于成 paper。
以上是关于最大团-最小度不等式的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章