Codeforces 55D Beautiful numbers(数位dp)

Posted 2020-09-16 Sakits

　　题目大意：T(<=10)组数据，求[a,b]能够被其每个数位的数都整除的数(a,b<=9*10^18)

　　这题差一点就想出来了，可是最后一步好难想也好妙啊

　　首先这个数能够整除各个数位的lcm，而最大的lcm为2520(5*7*8*9)。我的想法是枚举lcm（记为lcmm），求出各个数位的lcm为lcmm且这个数能整除lcm的数有多少，dp[pos][val][lcm][lcmm]表示枚举lcmm，前pos位，这个数%lcmm为val，各个数位的lcm，然后实际上lcmm和lcm只有50个，所以后两维离散化就从2520->50了。但是我突然眉头一皱发现事情并不简单，pos最大为20，val最大为2520，lcm最大为50，lcmm最大为50,20*2520*50*50=126000000... QAQ滚去看题解

　　设这个数为a，各数位为ai，lcm(ai)|a，lcm(ai)|2520，所以lcm(ai)|(a%2520)。这个怎么证呢？其实很简单。

　　设lcm(ai)x=a，lcm(ai)y=2520，则(a%2520)=lcm(ai)x-lcm(ai)y*z=lcm(ai)(x-y*z)，还是含有lcm(ai)。也就是说并不需要枚举lcmm，只要边dp边把val%2520就可以了...省了一维50，于是就巧妙的过了。

代码如下：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll dp[20][2550][50],a[20],l,r,num[2550],cnt,T;
void read(ll &k)
{
    k=0;ll f=1;char c=getchar();
    while(c<‘0‘||c>‘9‘)c==‘-‘&&(f=-1),c=getchar();
    while(c<=‘9‘&&c>=‘0‘)k=k*10+c-‘0‘,c=getchar();
    k*=f;
}
ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
ll dfs(int pos,int val,int lcm,bool limit)
{
    if(pos==0)return val%lcm==0;
    if(!limit && dp[pos][val][num[lcm]]!=-1)return dp[pos][val][num[lcm]];
    int up=limit?a[pos]:9;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=up;i++)
    ans+=dfs(pos-1,(val*10+i)%2520,i?(ll)lcm*i/gcd(lcm,i):lcm,limit && i==a[pos]);
    if(!limit)dp[pos][val][num[lcm]]=ans;
    return ans;
}
ll solve(ll x)
{
    if(x==-1)return 0;
    int pos=0;
    while(x)
    {
        a[++pos]=x%10;
        x/=10;
    }
    ll ans=0;
    ans+=dfs(pos,0,1,1);
    return ans;
}
int main()
{
    for(int i=1;i<=2520;i++)
    if(!(2520%i))num[i]=++cnt;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    read(T);
    while(T--)read(l),read(r),printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-1));
}

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