经典系综理论

Posted 2020-09-16 lvbbg

系综理论是统计力学的理论基础

本质上来说，统计热力学中只有一个问题，即给定能量$E$，如何分布在$N$个全同系统构成的系综上

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--薛定谔

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1.系综的定义

在下面的介绍中我们可以逐渐体会这句话的含义，此时我们暂且把这个定位我们解决的目标问题。之前的波尔兹曼分布/波色爱因斯坦分布/费米分布 已经取得了成功，但是它们针对的是近独立粒子组成的系统。如果粒子之间的相互作用不能忽略的时候，我们就需要系综理论。

在经典的波尔兹曼统计中曾引入单个粒子的相空间，我们称之为“$\\mu$空间”。假设离子的自由度是r，则“$\\mu$空间”是由r个广义坐标$q_i$和r个广义动量$p_i$组成，张成2r维的相空间。而对于N个（无相互作用的近独立）粒子，我们可以再定义一个“$\\Gamma$空间”，那么“$\\Gamma$空间”是由rN个广义坐标$q_i$和rN个广义动量$p_i$组成，张成2rN维的相空间。系统在某一时刻的状态，N个粒子的运动状态可以由$q_1,q_2,...,q_{rN};p_1,p_2,...,p_{rN}$,并可以用$\\Gamma$空间上的一点来描述。此时可以用我们熟悉的哈密顿正则方程，其中哈密顿量可以表示为$H(q_1,q_2,...,q_{rN};p_1,p_2,...,p_{rN})$。对于保守系统，$H=E$。如果是孤立系统，那么总能量不变：

\\[H(q_1,q_2,...,q_{rN};p_1,p_2,...,p_{rN})=E\\]

其中独立的变量有$2rN-1$个，可以想象这是一个能量为E的等能面，而且这个面是非常对称的。可以想象一下$x^2+y^2+z^2=1$找找感觉。现在，我们已经拥有了一个2rN维的相空间，空间中的每一点代表了一个N粒子系统的状态。下一步我们还能做些什么？当我们调出一个宏观的参数，我们想知道的是，从微观角度，粒子的状态是怎么分布的。如果只有两个粒子，那只有一个或两个状态，如果考虑的是N个粒子，又如何刻画呢？对于N个粒子的系统，我们可以选择以下两种角度来描述：

a. N粒子系统经历了长时间的演化，每一时刻处于一种微观态，那么它演化的轨迹在$\\Gamma$空间中就是一堆密集的点

b. 我们放置了大量的宏观性质完全相同的N粒子系统，它们在$\\Gamma$空间中的分布，也还是一堆密集的点

这种思维类似于统计抛硬币得到正反面的概率，你可以用一枚硬币抛1000次，也可以同时抛1000枚硬币。如果我们不缺硬币，那么从效率上看，后者是更为明智的方法。这里我们按照思路b，先给出系综的定义：

大量的处于相同宏观条件、相同力学性质（初始条件可以不同），而各处于某一微观运动状态、并各自独立的系统（子体系）的集合称为系综。

简而言之：系综是系统的集合（系统宏观相同，微观不同）

 

上图是“非常严谨”的系综示意图，蓝色表示张成2rN维$\\Gamma$空间，为了表现张成的含义，我画了伞状的高维空间。红色球体代表“系综”，由大量的红色点“系统”组成，系统的空间位置确定它自身的运动状态。

Gibbs的这些创意，都建立在他的一个认识上，力学量的系综平均=时间平均。波尔兹曼尝试用“各态经历假说”来解释。这个假说可以表述为：一个孤立系统从任一初态出发，只要我们给它足够时间，它能经历一切等能面上的微观状态。或者这样来解释假说：一个人在400m跑道上不停地奔跑，经过无穷时间，他可以跑过操场上的任何一点。但数学家证明：“人不可能踏入同一条跑道（河流）”。数学上虽然未被证明，不代表物理上就用错了。实际上，系统很难做到鼓励，外界的微扰会让系统具备跑满整条轨道的能力！

 

2. 微正则/正则/巨正则系统

三种系统的切换实际上是变分问题