BZOJ3232圈地游戏 分数规划+最小割

Posted 2020-09-15 CQzhangyu

【BZOJ3232】圈地游戏

Description

DZY家的后院有一块地，由N行M列的方格组成，格子内种的菜有一定的价值，并且每一条单位长度的格线有一定的费用。

DZY喜欢在地里散步。他总是从任意一个格点出发，沿着格线行走直到回到出发点，且在行走途中不允许与已走过的路线有任何相交或触碰（出发点除外）。记这条封闭路线内部的格子总价值为V，路线上的费用总和为C，DZY想知道V/C的最大值是多少。

Input

第一行为两个正整数n,m。

接下来n行，每行m个非负整数，表示对应格子的价值。

接下来n+1行，每行m个正整数，表示所有横向的格线上的费用。

接下来n行，每行m+1个正整数，表示所有纵向的格线上的费用。

（所有数据均按从左到右，从上到下的顺序输入，参见样例和配图）

Output

输出一行仅含一个数，表示最大的V/C，保留3位小数。

Sample Input

3 4
1 3 3 3
1 3 1 1
3 3 1 0
100 1 1 1
97 96 1 1
1 93 92 92
1 1 90 90
98 1 99 99 1
95 1 1 1 94
1 91 1 1 89

Sample Output

1.286

HINT

题解：感觉分数规划的题经常和网络流搭配，但建图还是我的弱项啊~

先二分答案mid，将所有边的权值变成（mid*边权），然后相当于跑一个点权为正，边权为负的最大权闭合图，然后思考怎么建图

1.从S向所有点连一条容量为点权的边，这是由最大权闭合图的思想得到
2.从所有点向相邻的点连一条容量为（mid*边权）的边（具体地说，是两条有向边），这个在两个点都选或都不选的时候没什么用，但是如果一个选另一个不选，那么就相当于要付出这条边边权的代价
3.从所有边界上的点向T连一条容量为（mid*边权）的边，这个可以理解为在网格外面还有一圈的点，这些点必须不选，也就相当于这些点可以和T看成一个点。那么如果选了边界上的点，必须付出这些边界上的边权 的代价。

这样最优代价和就变成了（所有正权和-最小割），如果是正值，就调整l，否则调整r

如果你不理解这样建图的可行性，可以yy一下：

如果我们选出了这样一些点，那么他们和相邻的不选的点（包括网格外的点）都要用边隔开，也就是说我们要付出这些边的代价，（2）（3）中连的边可以满足这个要求；此时，其余的点都不能选，意味着他们都要和S隔开，意味着我们要付出这些点点权的代价，（1）中连的边可以满足这些要求；又因为所有不选的点一定会间接的和网格外的点相连，那么它们自然地被划分到了T集合中，当然，选的点也已经被划分到了S集合中，此时我们已经成功的将所有代价都 割 掉了

如果还感觉说的不清楚的话可能是我自己理解的也不够 细 吧~

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <queue>
#define eps 1e-6
#define P(A,B) ((A-1)*m+B)
using namespace std;
int n,m,cnt,S,T;
int d[3000],to[500000],next[500000],head[3000];
int map[60][60],e1[60][60],e2[60][60];
double val[500000],ans,tot;
queue<int> q;
double dfs(int x,double mf)
{
    if(x==T)    return mf;
    int i;
    double temp=mf,k;
    for(i=head[x];i!=-1;i=next[i])
    {
        if(val[i]>eps&&d[to[i]]==d[x]+1)
        {
            k=dfs(to[i],min(temp,val[i]));
            if(k<eps)    d[to[i]]=0;
            val[i]-=k,val[i^1]+=k,temp-=k;
            if(temp<eps) break;
        }
    }
    return mf-temp;
}
int bfs()
{
    while(!q.empty())   q.pop();
    memset(d,0,sizeof(d));
    int i,u;
    q.push(S),d[S]=1;
    while(!q.empty())
    {
        u=q.front(),q.pop();
        for(i=head[u];i!=-1;i=next[i])
        {
            if(!d[to[i]]&&val[i]>eps)
            {
                d[to[i]]=d[u]+1;
                if(to[i]==T)    return 1;
                q.push(to[i]);
            }
        }
    }
    return 0;
}
void add(int a,int b,double c)
{
    to[cnt]=b,val[cnt]=c,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
    to[cnt]=a,val[cnt]=0,next[cnt]=head[b],head[b]=cnt++;
}
bool check(double sta)
{
    int i,j;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    cnt=0;
    S=0,T=n*m+1;
    ans=0.0;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            add(0,P(i,j),1.0*map[i][j]);
    for(i=1;i<n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            add(P(i,j),P(i+1,j),sta*e1[i][j]),add(P(i+1,j),P(i,j),sta*e1[i][j]);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<m;j++)
            add(P(i,j),P(i,j+1),sta*e2[i][j]),add(P(i,j+1),P(i,j),sta*e2[i][j]);
    for(i=1;i<=m;i++)    add(P(1,i),T,sta*e1[0][i]),add(P(n,i),T,sta*e1[n][i]);
    for(i=1;i<=n;i++)    add(P(i,1),T,sta*e2[i][0]),add(P(i,m),T,sta*e2[i][m]);
    while(bfs())    ans+=dfs(0,99999999.999999);
    return tot-ans>eps;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int i,j;
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&map[i][j]),tot+=1.0*map[i][j];
    for(i=0;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=m;j++)
            scanf("%d",&e1[i][j]);
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=0;j<=m;j++)
            scanf("%d",&e2[i][j]);
    double l=0.0,r=n*m*100.0,mid;
    while(r-l>eps)
    {
        mid=(l+r)*0.5;
        if(check(mid))  l=mid;
        else    r=mid;
    }
    printf("%.3f",l);
    return 0;
}