点积与叉乘的运算与物理意义

Posted 2020-09-14 wyu123

原文：http://blog.csdn.net/jacke121/article/details/55804353

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；

 

向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

 

点乘公式

 

对于向量a和向量b：

 

                                                           

 

a和b的点积公式为：

 

 

 

要求一维向量a和向量b的行列数相同。

 

点乘几何意义

 

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

 

 

推导过程如下，首先看一下向量组成：

 

 

 

定义向量：

 

 

根据三角形余弦定理有：

 

 

根据关系c=a-b（a、b、c均为向量）有：

 

 

即：

 

向量a，b的长度都是可以计算的已知量，从而有a和b间的夹角θ：

 

 

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

     a·b>0    方向基本相同，夹角在0°到90°之间

     a·b=0    正交，相互垂直  

     a·b<0    方向基本相反，夹角在90°到180°之间 

 

叉乘公式

 

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

 

对于向量a和向量b：

 

 

a和b的叉乘公式为：

 

 

其中：

 

 

根据i、j、k间关系，有：

 

 

 

 

叉乘几何意义

 

 

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

 

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示： 

 

 

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：aXb等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

向量：u=(u1,u2,u3) v=(v1,v2,v3)
叉积公式：u x v = { u2v3-v2u3 ,u3v1-v3u1 ,u1v2-u2v1 }
点积公式：u * v = u1v1+u2v2+u3v33=lul*lvl*COS(U,V)
对于向量的运算,还有两个“乘法”,那就是点乘和叉乘了.点乘的结果就是两个向量的模相乘,然后再与这两个向量的夹角的余弦值相乘.或者说是两个向量的各个分量分别相乘的结果的和.很明显,点乘的结果就是一个数,这个数对我们分析这两个向量的特点很有帮助.如果点乘的结果为0,那么这两个向量互相垂直；如果结果大于0,那么这两个向量的夹角小于90度；如果结果小于0,那么这两个向量的夹角大于90度.对于叉乘,它的运算公式令人头晕,我就不说了,大家看下面的公式自己领悟吧……
向量c的方向与a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法则”判断（用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向）.
若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),
则 
向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2 
向量a×向量b= 
| i j k| 
|a1 b1 c1| 
|a2 b2 c2|
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1) 
（i、j、k分别为空间中相互垂直的三条坐标轴的单位向量）.
叉乘的意义就是通过两个向量来确定一个新的向量,该向量与前两个向量都垂直