数据结构之红黑树——插入操作

Posted 2020-09-11 ljbguanli

插入或删除操作，都有可能改变红黑树的平衡性。利用颜色变化与旋转这两大法宝就可应对全部情况。将不平衡的红黑树变为平衡的红黑树。

在进行颜色变化或旋转的时候，往往要涉及祖孙三代节点：X表示操作的基准节点，P代表X的父节点，G代表X的父节点的父节点。

我们先来大体预览一下插入的过程：

1、沿着树查找插入点。假设查找过程中发现某个黑色节点的两个子节点都是红色，则运行一次颜色变换（父节点变为红色。而两个红色子节点变为黑色）。

2、第1步中，不会改变子树的黑色高度，可是可能会出现颜色冲突（红-红颜色冲突）。运行一次或两次旋转就可以解决。

设红色子节点为X，红色父节点为P。旋转次数由X是G的内側子孙还是外側子孙决定。

3、找到插入点之后，设X为新插入的节点。假设P是黑色的，则不须要做不论什么改变。插入完毕。

4、假设P是红色的，则发生了红-红颜色冲突，须要做两次颜色变化。假设X为G的外側子孙。再进行一次旋转；假设X为G的内側子孙，再进行两次旋转。

终于都可使树变为平衡的红黑树。

如今看不懂没关系，为何要这么做，我们接下来慢慢分析。

 

第1步与第2步看似与插入新节点没关系，事实上为了给新节点的插入扫清道路。到后面插入新节点时就会体现出来。

先来看第1步的具体过程：

上图中。查找到P点。发现它的两个子节点都是红色，则进行颜色变换（假设P是根，则保持黑色不变）。这样的变换并不会改变从根节点经P到叶节点或者空节点的路径上的黑色节点总数。即不会改变其黑色高度。将P、X1、X2看做三角形的三个顶点，颜色变换之前，经过此三角形时会添加一个黑色节点，颜色变换之后，P变成了红色。X1、X2变成了黑色，不论是经过X1还是经过X2，还是会添加一个黑色节点。

假设P的父节点是黑色，则不会出现不论什么问题，可是，假设P的父节点也是红色。就会发生红-红颜色冲突。须要通过旋转来修正。发生颜色冲突时有两种情况须要差别对待。

注意，这时候我们选定红-红颜色冲突父子节点中的子节点作为基准节点，即X。假设X在P的一側与P在G的一側同样，X即为G的外側子孙，反之。则为内側子孙。

情况1：X为外側子孙节点。

上图中，表示的是颜色变换之后的情况，12跟25节点发生了颜色冲突，12为50的外側子孙。

在这样的情况须要採取三步操作：

1、改变G的颜色。

2、改变P的颜色

3、以G为中心进行向X上升的方向旋转（本例中是右旋）。

奇迹发生了。树突然之间平衡了，并且是符合红黑规则的。

须要注意的是，在本例中，因为25是50的左子节点。进行的是右旋操作，增加它是右子节点，则须要进行左旋操作。

不管是左旋还是右旋。都是向着X上升的方向旋转。

 

情况2：X为内側子孙节点。

修正这样的情况比較复杂一点，假设我们採取跟内側子孙一样的做法。X不会上移而是发生横向移动，使树变得更加不平衡。

因此须要一种不同的方法来解决。

我们先要用一次旋转让X成为外側子孙，然后再用一次旋转使树平衡。

这样的情况须要进行四步操作：

1、改变G的颜色；

2、改变X的颜色。

3、以P为中心向X上升的方向旋转；

4、以G为中心向X上升的方向旋转。

 

 

至此，前期工作已经完毕。以下进行新节点的插入。

在插入环节，我们以新节点为基准点，即X。

在前面已经说过，我们总是默认新节点为红色。

那么，找到插入点的时候。会有两种情况，一种是X的父节点为P为黑色。直接插入就可以（由于插入一个红色新节点既不会影响树的黑色高度，也不会发生颜色冲突）；还有一种情况是X的父节点P也为红色。插入后会发生红-红颜色冲突。须要通过颜色变换与旋转来修正。

发生颜色冲突的时候，依据X是内側子孙还是外側子孙分别对待，处理方法与上面提到的方法类似。

外側子孙：

 

内側子孙：

 

以下我们来讨论一下，是否还有其它情况。

假如X有一个兄弟节点S，即P的还有一个子节点，会使不论什么须要的旋转更加复杂。

假设P为黑色，不管X有没有兄弟节点，都不须要旋转；假设P为红色，则插入之前。P不可能有一个单独的黑色子节点，由于这样会使S和空子节点的黑色高度不一样。综上，插入新节点之后，不会出现X存在兄弟节点并且须要旋转修正的情况。

假如P有一个兄弟节点。即X的叔节点U，也会使不论什么须要的旋转更加复杂。假设P为黑色，X插入后不要要做不论什么旋转；假设P为红色，则U必须为红色，否则，G到P的黑色高度与G到U的黑色高度就不同了。可是。有两个红色子节点的父节点在插入之前我们已经处理掉了，所以这样的情况也不会存在。综上，插入新节点之后。不会出现P存在兄弟节点且须要旋转修正的情况。

到如今。就明确为什么要在寻找插入点的过程中，把有两个红色子节点的父节点的颜色变换掉，一方面是为了使树更加平衡，还有一方面是大大简化了插入后的旋转操作。