hdu 1465 不容易系列之一(错排模板)

Posted 2020-09-10 kimsimple

不容易系列之一

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Problem Description

大家常常感慨，要做好一件事情真的不容易，确实，失败比成功容易多了！
做好“一件”事情尚且不易，若想永远成功而总从不失败，那更是难上加难了，就像花钱总是比挣钱容易的道理一样。
话虽这样说，我还是要告诉大家，要想失败到一定程度也是不容易的。比如，我高中的时候，就有一个神奇的女生，在英语考试的时候，竟然把40个单项选择题全部做错了！大家都学过概率论，应该知道出现这种情况的概率，所以至今我都觉得这是一件神奇的事情。如果套用一句经典的评语，我们可以这样总结：一个人做错一道选择题并不难，难的是全部做错，一个不对。

不幸的是，这种小概率事件又发生了，而且就在我们身边：
事情是这样的——HDU有个网名叫做8006的男性同学，结交网友无数，最近该同学玩起了浪漫，同时给n个网友每人写了一封信，这都没什么，要命的是，他竟然把所有的信都装错了信封！注意了，是全部装错哟！

现在的问题是：请大家帮可怜的8006同学计算一下，一共有多少种可能的错误方式呢？

 

Input

输入数据包含多个多个测试实例，每个测试实例占用一行，每行包含一个正整数n（1<n<=20），n表示8006的网友的人数。

 Output

对于每行输入请输出可能的错误方式的数量，每个实例的输出占用一行。

 Sample Input

2

3

 Sample Output

1

2

 

分析：典型的错排问题

思路：错排的模板

错排：

　　d[1]=0;   d[2]=1;

　　d[n]=(n-1)*(d[n-1]+d[n-2])

注意用long long

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int n;
    long long a[28];
    a[1]=0;a[2]=1;
    for(int i=3;i<=20;i++)
    {
        a[i]=(i-1)*(a[i-1]+a[i-2]);
    }
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%lld\n",a[n]);
    }
    return 0;
}

 

错排问题：

错排问题是组合数学中的问题之一。考虑一个有n个元素的排列，若一个排列中所有的元素都不在自己原来的位置上，那么这样的排列就称为原排列的一个错排。 n个元素的错排数记为D_n。 研究一个排列错排个数的问题，叫做错排问题或称为更列问题。

最早研究错排问题的是尼古拉·伯努利和欧拉，因此历史上也称为伯努利-欧拉的装错信封的问题。这个问题有许多具体的版本，如在写信时将n封信装到n个不同的信封里，有多少种全部装错信封的情况？又比如四人各写一张贺年卡互相赠送，有多少种赠送方法？自己写的贺年卡不能送给自己，所以也是典型的错排问题。

 

 

==== 这里引用一下错排公式的推导方法。

方法一：

n各有序的元素应有n！种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。任给一个n，求出1,2,……,n的错排个数Dn共有多少个。

递归关系式为：D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))

D(1)=0,D(2)=1

可以得到:

错排公式为Dn=n!(1-1/2!+1/3!-.....+(-1)n/n!)

其中,n!=1*2*3*.....*n,

特别地,有0!=0,1!=1.

解释：

n 个不同元素的一个错排可由下述两个步骤完成： 

第一步，“错排” 1 号元素（将 1 号元素排在第 2 至第 n 个位置之一），有 n - 1 种方法。 
第二步，“错排”其余 n - 1 个元素，按如下顺序进行。视第一步的结果，若1号元素落在第 k 个位置，第二步就先把 k 号元素“错排”好， k 号元素的不同排法将导致两类不同的情况发生：
1、 k 号元素排在第1个位置，留下的 n - 2 个元素在与它们的编号集相等的位置集上“错排”，有 f(n -2) 种方法；
2、 k 号元素不排第 1 个位置，这时可将第 1 个位置“看成”第 k 个位置，于是形成（包括 k 号元素在内的） n - 1 个元素的“错排”，有 f(n - 1) 种方法。据加法原理，完成第二步共有 f(n - 2)+f(n - 1) 种方法。 
根据乘法原理， n 个不同元素的错排种数 
f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)] (n>2) 。 
证毕。

方法二：

n个人每个人都不站在原来的位置的方法数有: 
f(n)=n!(1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!) 
此公式的推导过程要用到筛法公式,而且推导过程很复杂,除了竞赛高考肯定不会出现,对于n不大于4时可采用枚举法.一般只需记住n不大于5的情况即可 
f(2)=1,f(3)=2,f(4)=9,f(5)=44 
此外还有一个简单的公式f(n)={n!/e},{x}表示最接近x的整数,e为自然底数,其值为2.7182818.........,一般取2.72即可

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我这里就是用的错排公式f(n) = (n-1)[f(n-2)+f(n-1)]，同时注意会超int。