P和NP问题

Posted 2020-09-09

1. 什么是P，什么是NP问题？

   看论文的过程中，经常出现P=NP或者P!=NP问题，经常困扰着我，让我无时无刻想去搞懂到底什么是P,什么是NP。P（polynomial）P就是能在多项式时间内能够解决的问题。NP（Non-deterministic polynomial）也就是非确定的多项式，即是难解问题。那么第二个问题将会围绕着什么是多项式时间，这是什么东西？

2. 多项式时间？

   在研究算法的时间复杂度时，我们通常用O(n^k )来表示。其中n是问题的规模，k是一个非负整数。一些科学家指出只有多项式时间算法才称得上是"好"算法。其实多项式时间复杂性也并不意味着较低的时间要求，如(n¹⁰⁰⁰ )，他们的值依然大的惊人。至于科学家为什么要用这个标准去定义它，我们搞算法无需关注，不是重点。通常人们将存在多项式时间算法的问题成为易解问题，将需要在指数时间内解决的问题成为难解问题，目前证明的难解问题只有两类：不可判定问题和非决定的难处理问题。

3. 什么不可判定问题和非决定的难处理问题？

   不可判定问题：他们太难了，以致于根本不存在能求解它们的任何算法。非决定的难处理问题：这类问题是可判定的（即可解的）。但是即使使用非决定的计算机也不能在多项式时间内求解它们。

4. 什么是确定算法，什么是不确定算法

   设A是问题II的一个算法。如果在处理问题II的实例时，在算法的执行过程中，每一步只有一个确定的选择，则称算法A是确定性算法。因此，确定性算法对于同样的输入实例一遍一遍地执行，其输出从不改变。通常在写程序时，用到的都是一些确定性算法，比如查找和排序算法。

   非确定算法包含两个阶段：猜测和验证阶段。设A 是求解问题II的一个算法。对于规模为n的输入实例L，生成一个输出结果S，把它作为给定实例L的一个候选解，该解可能是相应的输入实例L的解，也可能不是，甚至完全不着边际。但是它能够以多项式时间内能够输出这个结果。那么在验证阶段需要一个确定性算法来验证，把L和S都作为该算法的输入，如果s的确是L的一个解，算法停止且输出是，否则输出否。

5. P类问题和NP类问题的关系？

   P类问题是可以用多项式时间的确定性算法来进行判定或求解

   NP类问题可以用多项式时间的不确定算法来进行判定或求解，关键是存在一个确定算法，能够以多项式的时间来验证在猜测阶段所产生的答案。

   直观上理解：P类问题是在确定性算法下的易解问题，而NP问题是非确定性计算模型下的易验证问题。因为确定性算法只是不确定算法的一种特例，显然有P NP，再者，通常认为，问题求解难于问题验证，故大多数研究者相信NP类是比P类要大得多集合，即是P! NP,故P!=NP。可是还没有任何人证明：在NP类中有哪个问题不属于P类。即P=NP?，但是后来人们发现还有一系列的特殊NP类问题，这类问题使得大多数科学家相信P!=NP，这类特殊的问题就是NP完全问题。

6. NP完全问题与NP 问题之间的关系？

    1. 解决了这个问题我们就解决了所有NP问题
   2. 这个问题本身也是个NP问题

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