机器学习P问题NP问题NP-hardNP-C问题解析与举例理解

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了机器学习P问题NP问题NP-hardNP-C问题解析与举例理解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1 基本概念

1.1 多项式和时间复杂度

(1)多项式
a x n + b x n − 1 + c ax^n+bx^{n-1}+c axn+bxn1+c,形如这种形式的就被称为x的最高位为n的多项式。
(1)时间复杂度
定义为随着问题规模的增大,算法执行时间增长的快慢。它可以用来表示一个算法运行的时间效率。举个例子,冒泡排序的时间复杂度为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) ,取其最高次,可以看出,这是一个时间复杂度为多项式的表示方式

1.2 P和NP

(1)P(deterministic polynomial time question):
多项式时间问题,简称P问题,意思是能在多项式时间内解决的问题。简单理解是算起来很快的问题
(2)NP(No-deterministic polynomial time question)
非确定多项式时间问题,简称NP问题,就是能在多项式时间验证答案正确与否的问题。简单的理解是NP问题算起来不一定快,但对于任何答案我们都可以快速的验证这个答案对不对。

1.3 NP-hard和NP-C

NP-hardness问题:任意NP问题都可以在多项式时间内归约为一类问题,这类问题就称为NP-hard问题,这是比所有的NP问题都难的问题。归约的意思是为了解决问题A,先将问题A归约为另一个问题B,解决问题B同时也间接解决了问题A。
NP-Complete问题:但若所有的NP问题都能多项式归约到一类问题X,则称X为NP-hard问题,进一步如果X是NP的,称X是NP complete的。换句话说,只要解决了这个问题,那么所有的NP问题都解决了。其定义要满足2个条件:一是NP-hard的问题,二是NP问题。

1.4 总结

(1)理想:NP问题 = P问题
NP=P意思是,如果对于一个问题能在多项式时间内验证其答案的正确性,那么是否能在多项式时间内解决它。
因为如果将所有的NP问题都多项式规约到某一个NP Complete问题,且只要一个NP Complete问题能在多项式时间内得到解决的话,那么所有的NP问题都可以在多项式时间内得到解决了。这个问题的解决将会带来世界性的进步。
(2)现实:我们仍然相信P问题!=NP问题
至今并没有人能证明某个NP Complete问题是P的。而且目前主流的观点是P不等于NP,当然这也没有确切的证明。如左图所示。
在这里插入图片描述

2 举例理解NP问题

最著名的NP问题是TSP旅行商推销问题。题目是在以下条件下,求出访问所有城市的最短路径

  • 推销商有N个目的地城市
  • 他需要访问所有城市一次,即不能重复
  • 任意两座城市都是连接的,距离已知,即对应有权完全图

分析:
解决这个问题如果单纯的用枚举法来列举的话会有(n-1)! 种,已经不是多项式时间的算法了。将会是N的阶乘的复杂度O(n!)。

但是有快捷的方法,可以用猜的,假设人品爆炸猜几次就猜中了一条小于长度a的路径,TSP问题解决了,皆大欢喜。可是,我不可能每次都猜的那么准,也许我要猜完所有种方案呢?所以我们说,这是一个NP类问题。也就是这个问题能在多项式的时间内验证并得出问题的正确解,可是我们却不知道该问题是否存在一个多项式时间的算法,每次都能解决他(注意,这里是不知道,不是不存在,即能解决,但是无法找到一个多项式时间的算法的通解)

3 其他NP问题

  • Edge Cover 边覆盖
  • Set Cover 集合覆盖
  • Steiner Tree(Forest) 斯坦纳树
  • Max cut 最大割
  • SAT 可满足性

以上是关于机器学习P问题NP问题NP-hardNP-C问题解析与举例理解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

机器学习周志华p=np是啥意思

算法设计与分析

为啥要在 NP 中分解,而不是在 P 中分解?

P类问题,NP,NPC,HPHard,coNP,NPI问题 的简单认识

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算法概述-第二节:NP完全性理论