动态规划 硬币问题

Posted 2020-09-08

 

       题目：有n种硬币，面值分别为V1,V2,...Vn,每种都有无限多。给定非负整数S，可以选用多少个硬币，使得面值之和恰好为S？输出硬币数目的

最小值和最大值！

 

       如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？ (表面上这道题可以用贪心算法，但贪心算法无法保证可以求出

解，比如1元换成2元的时候)

      首先我们思考一个问题，如何用最少的硬币凑够i元(i<11)？为什么要这么问呢？ 两个原因：1.当我们遇到一个大问题时，总是习惯把问题的规模变

小，这样便于分析讨论。 2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小，其它的都是一样的， 本质上它还是同一个问题(规模变小后的

问题其实是原问题的子问题)。

        好了，让我们从最小的i开始吧。当i=0，即我们需要多少个硬币来凑够0元。 由于1，3，5都大于0，即没有比0小的币值，因此凑够0元我们最少需

要0个硬币。 这时候我们发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。

      那么， 我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。于是我们已经得到了d(0)=0， 表示凑够0元最小需要0个硬币。当i=1时，只有面值为1元的硬

币可用， 因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可，而这个是已经知道答案的， 即d(0)=0。所以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。

当i=2时， 仍然只有面值为1的硬币可用，于是我拿起一个面值为1的硬币， 接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量)，而这个答案也

已经知道了。 所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。

      一直到这里，你都可能会觉得，好无聊， 感觉像做小学生的题目似的。因为我们一直都只能操作面值为1的硬币！耐心点， 让我们看看i=3时的情况。

当i=3时，我们能用的硬币就有两种了：1元的和3元的( 5元的仍然没用，因为你需要凑的数目是3元！5元太多了亲)。 既然能用的硬币有两种，我就有两

种方案。如果我拿了一个1元的硬币，我的目标就变为了： 凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。 这个方案说的

是，我拿3个1元的硬币；第二种方案是我拿起一个3元的硬币， 我的目标就变成：凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1.

这个方案说的是，我拿1个3元的硬币。好了，这两种方案哪种更优呢？ 记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以， 选择d(3)=1，怎么来的呢？

具体是这样得到的：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

       上文中d(i)表示凑够i元需要的最少硬币数量，我们将它定义为该问题的”状态”， 这个状态是怎么找出来的呢？我在另一篇文章中写过： 根据子问题定义状

态。你找到子问题，状态也就浮出水面了。 最终我们要求解的问题，可以用这个状态来表示：d(11)，即凑够11元最少需要多少个硬币。 那状态转移方程是什

么呢？既然我们用d(i)表示状态，那么状态转移方程自然包含d(i)， 上文中包含状态d(i)的方程是：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。没错， 它就是状态

转移方程，描述状态之间是如何转移的。当然，我们要对它抽象一下，

d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj >=0，vj表示第j个硬币的面值;

有了状态和状态转移方程，这个问题基本上也就解决了。当然了，Talk is cheap,show me the code!

伪代码如下：

/**
 * 硬币找零
 * 
 * @author sun
 *
 */
public class MinCoins {
    public static void main(String[] args) {
        int[] coins = { 1, 3, 5 };
        int value = 11;
        CoinDp(value, coins);
    }

    public static void CoinDp(int n, int[] coinValue) {
        int count = 0;// 记录执行次数
        int[] min = new int[n + 1]; // 用来存储得到n块钱需要的硬币数的最小值
        min[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            min[i] = Integer.MAX_VALUE;// 初始化数组中的每个值都是最大的整数
            for (int j = 0; j < coinValue.length; j++) {
                count++;
                if (i >= coinValue[j] && min[i] > min[i - coinValue[j]] + 1) {
                    min[i] = min[i - coinValue[j]] + 1;
                }
            }
            System.out.println("获取" + i + "块钱，最少需要的硬币数：" + min[i] + ",执行的次数：" + count);
        }
        System.out.println(min[n]);
    }
}