自适应滤波：梯度下降算法

Posted 2020-09-07 桂。

作者：桂。

时间：2017-04-01  06:39:15

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【学习笔记07】

前言

西蒙.赫金的《自适应滤波器原理》第四版第四章：最速下降算法。优化求解按照有/无约束分类：如投影梯度下降算法（(Gradient projection）便是有约束的优化求解；按照一阶二阶分类：梯度下降（Gradient descent）、Newton法等；按照偏导存在与否分类：如梯度下降、次梯度下降（Subgradient descent）等.本文主要整理：梯度下降法在维纳滤波中的应用.

一、原理思想

 对于准则函数：

需要寻找最优解$w_o$，使它对所有$w$满足$J(w_o) \\le J(w)$。可以利用迭代下降的思路求解：

从初始值$w(0)$出发， 产生一系列权向量$w(1)$，$w(2)$...，使得准则函数每一次迭代都是下降的：$J(w(n+1)) < J(w(n))$，其中$w(n)$是权向量的过去值，$w(n+1)$是更新值。

定义梯度：

$g = \\nabla J\\left( w \\right) = \\frac{{\\partial J\\left( w \\right)}}{{\\partial w}}$

负梯度方向为减小方向：

$w(n + 1) = w(n) - \\mu  \\cdot g(n)$

为了说明准则函数随着迭代下降，从一阶泰勒展开可以观察：

二、应用实例

 仍然借助维纳滤波一文的例子：

已知：

含有噪声的正弦波：$y(n) = x(n) + w(n) = \\sin (2\\pi fn + \\theta ) + w(n)$.

其中$f = 0.2$为归一化频率[-1/2, 1/2]，$\\theta$为正弦波相位，服从[0,2$\\pi$]的均匀分布，$w(n)$为具有零均值和方差$\\sigma^2 = 2$的高斯白噪声。

求：

时域维纳滤波器。假设滤波器为时域滤波器时$M=2$.

首先求解相关矩阵：

$x(n)$为广义平稳随机过程，可以计算其自相关函数：

${r_{xx}}\\left( m \\right) = \\cos (2\\pi fn)$

得到关于均方误差的准则函数：

代入数值：

迭代的时候，可以保留矩阵的形式，也可以利用代数的形式，形式不同但本质相同，以矩阵为例：

得到梯度$\\nabla J =  - 2{\\bf{r}}_{yd}^{ - 1} + 2\\;{{\\bf{R}}_{yy}}{\\bf{h}}$.

对应搜索代码：

r_yd = [0.5 0.154]\';
R_yy = [2.5 0.154;0.154 2.5];
h_est = [0 0]\';
deltaJold = Inf;
mu = 0.001;
for i = 1:2000
    deltaJ = -2*r_yd+2*R_yy*h_est;
    if abs(deltaJ-deltaJold)<1e-5
        break;
    end
    h_est = h_est - mu*deltaJ
    deltaJold = deltaJ;
end

即可得出最优解$h = [0.197　， 0.0495]\'$。

 

三、稳定性

上文中$\\mu$取0.001，$\\mu$如何取值才能保证梯度正常下降呢？事实上，如果$\\mu$过大结果会往外发散而不是收敛于最优点。

借助维纳滤波一文可以知道，

${w_o} = \\;{\\bf{R}}_{_{yy}}^{ - 1}{\\bf{r}}_{yd}^ - $

从而有：

记$c(n) = w_o - w(n)$:

$c(n + 1) = c(n)\\left( {{\\bf{I}} - 2\\mu {{\\bf{R}}_{yy}}} \\right)$

对于正定矩阵，存在正交矩阵：

${{\\bf{R}}_{yy}} = {\\bf{Q\\Lambda }}{{\\bf{Q}}^{ - 1}}$

即${\\bf{I}} - 2\\mu {{\\bf{R}}_{yy}}{\\rm{ = }}{\\bf{Q}}\\left( {{\\bf{I}} - 2\\mu {\\bf{\\Lambda }}} \\right){{\\bf{Q}}^{ - 1}}$，为此保证最大特征值小于1即可保证收敛：

如对应上面$h$的求解，$\\frac{1}{{{\\lambda _{\\max }}}}= 0.3768$，用上面的程序容易验证$\\mu = 0.37$时满足条件，可以收敛；$\\mu = 0.38$则发散，无法得到最优值。

  

四、理论扩展

如果沿着曲线直接寻优，我们称为：精确直线搜索。如计算：：

这是就是$\\Delta x$与$x$固定后，该问题就是$t$的函数，易求解。但实际情况中，准则函数并不总是这么理想，因此借助近似的思路去寻优，成了一种更普适的方式，梯度下降法、牛顿法都是基于该思路。

这里给出一个更简单的例子$y = kx$的拟合问题，其中$k$未知。

首先给出结果图：

 

100组随机试验，未添加噪声。

给出code：

N = 100;
a = zeros(1,N);
mu =0.002;
flag = 2;
for k = 1:N
    xold = linspace(-10,10,60);
    nums = randperm(length(xold));
    x = xold(nums);
    y = 3*x +2*randn(1,length(x));
    switch flag
        case 1
            a_est = 0;
            batch = 10;
            for i=1:batch:length(x)
                a_est = a_est+mu*(x(i:i+batch-1)*(y(i:i+batch-1)-a_est*x(i:i+batch-1)).\');
            end
        case 2
            a_est = 0;
            batch = 1;
            for i=1:batch:length(x)
                a_est = a_est+mu*(x(i:i+batch-1)*(y(i:i+batch-1)-a_est*x(i:i+batch-1)).\');
            end
    end
    a(k) = a_est;
end

对于相关矩阵：来自统计均方误差，但实际应用中通常无法得知概率分布以及相关矩阵，通常是基于遍历性假设，以便利用时间换取空间。即：

${{\\bf{R}}_{yy}} \\approx \\frac{{{{\\bf{y}}^T}{\\bf{y}}}}{N}$

与之对应的统计误差也不再是均方意义上，假设时间换空间的序列长$N$:

简单来说：当$N$较大时，对应的梯度下降称之为——批量（Batch）梯度下降，当$N=1$即每次来一个样本，对应称之为——随机梯度下降。

通过上面的小程序可以得出两点结论：

• 初始值
• 迭代步长
• 特征尺寸（一维无此问题）

二者都对寻优产生影响。事实上对于高维数据，不同特征尺寸不同，对寻优也有影响，通常需要分别对特征进行归一化。

　　A-批量梯度下降

仍然以线性回归为例：

这里$x_0 = 1$，给出准则函数，便于求导通常添加$1/2$:

求偏导：

从而：

可以写为：

迭代至满足收敛条件即可求解。

　　B-随机梯度下降

对应批量梯度下降，当$m = 1$即一次只接受/处理一个样本，对应为随机梯度下降。

事实上，当引入噪声时，时间换空间只能是一种近似，即批量/随机梯度下降的最优解，通常不是维纳滤波的最优解。基于随机梯度的最小均方误差（Least mean square,LMS）通常称为LMS算法，以示与梯度下降的区别。

　　C-Newton-Raphson法

 梯度下降法基于一阶近似，如果二阶逼近收敛是否会更快一些？即寻找梯度的梯度——走一步想两步。

再次给出梯度下降的一阶Taylor近似：

$f\\left( {{\\bf{x}} + \\Delta {\\bf{x}}} \\right) \\approx f\\left( {\\bf{x}} \\right) + {\\left( {\\nabla f\\left( {\\bf{x}} \\right)} \\right)^T} \\cdot \\Delta {\\bf{x}}$

给出二阶Taylor近似：

${\\nabla ^2}f\\left( {\\bf{x}} \\right)$对应的矩阵称为Hessian矩阵，该方法成为牛顿法（Newton），也称Newton-Raphson法。

对于点$x_k$，选择下降方向：

参考：

• Simon Haykin 《Adaptive Filter Theory Fourth Edition》.
• Philipos C.Loizou《speech enhancement theory and practice》.
• 张贤达《矩阵分析与应用》.