浅谈对点分治的一些理解

Posted 2020-09-05 qt666

点分治是一种树分治算法(昨天听了清华大佬Ryz的课,感觉这个人讲的还可以,虽然后面有蛮多没听懂,比如再套一些七里八里的数据结构)

在解决树上路径满足某种属性的数量统计方面有着很大的作用

 

点分治的基本思想如下:

考虑到树上的路径对于一个点来说只有两种情况:一是经过这个点,二是不经过这个点

对于不经过这个点的情况我们可以直接往下递归处理,主要问题就是解决经过这一个点的路径

我们知道:如果一条路径要经过这个点,那么他必然是由两条在这个点不同子树中到这个点的路径组合而成(这句话真的很重要)

 

对于这个问题一般又有两种思想:

1.运用容斥的思想,先把这个节点getdeep的时候搞出来的东西不管是否经过这个点(即不在同一子树)全部都计算,然后在减去子树中(即在同一子树)的这些答案

这样减剩下就是经过这个点的答案了(参考 树上的点对以及聪聪可可)

2.类似动态点分治的想法,我们直接对于每个点的子树的一个一个的做(组合或更新);比如说经常用一些堆,单调队列(貌似还有平衡树???)这些东西来实现子树贡献合并(参考所有动态点分治)

 

动态点分治:

相当把重心拿出来重新构了一个新的树型关系(可以理解为线段树,每个节点的性质真的跟线段树很像)

每个重心所管辖的就是他能getdeep的那一片连通块,然后每个重心额外记一个上层重心即可

 

这样有什么好处呢???

 

我们发现修改的话,这个被修改的点只会影响该点上层的所有重心(log个)

查询关于某个点的信息时,也只要不断的往上跳上层重心进行查询(log次)

那么这样的复杂度就很能够接受,至于答案的统计,我们就通过上面说的第二种统计答案的方法进行统计即可

具体实践参考 qtree5,开店,捉迷藏,重建计划等等,这一类问题统计答案的方法千变万化,就像线段树一样有很多不同的方法

 

所以一定要好好理解,然后灵活运用,点分治这个算法(or数据解构)其实真的挺有用的