[参数方法] 贝叶斯估计(待补充)
Posted 小尾巴君
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问题:给定一些样本X,给定一个参数theta的先验概率p(theta),如何建模估计x上的密度?
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根据贝叶斯规则,为了估计x上的密度,有:
p(x | X) = ∫p(x, theta | X)d(theta)
= ∫p(x | theta, X)*p(theta | X)d(theta),由于如果给定了theta也就知道了X的分布
= ∫p(x | theta)*p(theta | X)d(theta)
实际问题是theta存在概率上的变化,所以p(theta | X)有一个概率形式,若p(theta | X)是一个复杂的形式,那么积分实在太难。
若做一个很简单的假定,只取theta在样本中(即p(theta | X))出现的众数,则p(theta | X)恒为1,式子就是一个似然估计。这种假定使得最大后验(maximum a posteriori, MAP)估计计算容易:
p(x | X) = p(x | thetaMAP) ,其中thetaMAP = arg maxp(theta | X)。
然后这种假定确实过于简单粗暴了......
然而,另一种可能的方法贝叶斯估计登场的,贝叶斯估计被定义为后验概率的期望值。首先它做了参数theta的期望,可以用E[theta] = µ来预测。假设c是theta的估计,则
E[(theta - c)2] = E[(theta - µ + µ - c)2] = E[(theta - µ)2] + (µ - c)2
此时c = µ,值最小,在theta为正态密度情况下,众数是µ。此时贝叶斯估计和前面的MAP一致了。
特殊例子,x服从N(theta, σ12)分布,theta又服从N(µ, σ22)分布,那么
可证p(theta | X)也是是正态的。
(待补充)
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