线性筛-mobius，强大O(n)

Posted 2020-09-03 Jason-Cow

首先，你要知道什么是莫比乌斯函数

然后，你要知道什么是积性函数

最后，你最好知道什么是线性筛

莫比乌斯反演

积性函数

线性筛，见上一篇

知道了，就可以愉快的写mobius函数了

由定义：

μ(n)=   1          (n=1)

           (-1)^k   (n=p1p2...pk)  /*  注意质因子次数为1因为次数大于等于2则含有平方因子  */

            0          (其他)

为什么关系平方因子呢？

因为，由定义：

/*
莫比乌斯函数完整定义的通俗表达：
1）莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N
2）μ(1)=1
3）当n存在平方因子时，μ(n)=0
4）当n是素数，μ(n)=-1
5）当n是奇数个不同素数之积时，μ(n)=-1
6）当n是偶数个不同素数之积时，μ(n)=1
*/

Hint

由μ函数本身的积性

所以对于其他情况，只需要O(1)的从  mu[i] -> mu[i*p[j]] 就可以了

mu[i*p[j]]=-mu[i];

综上所述：

const int maxn=50000+10;
int mu[maxn],p[maxn],flag[maxn],cnt;
void mobius(int n){
  mu[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!flag[i])p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
    for(int j=1;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++){
      flag[i*p[j]]=1;
      if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
      mu[i*p[j]]=-mu[i];
    }
  }
}

mobius