线性筛-mobius,强大O(n)

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了线性筛-mobius,强大O(n)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

首先,你要知道什么是莫比乌斯函数

然后,你要知道什么是积性函数

最后,你最好知道什么是线性筛

莫比乌斯反演

积性函数

线性筛,见上一篇

知道了,就可以愉快的写mobius函数了

由定义:

μ(n)=   1          (n=1)

           (-1)^k   (n=p1p2...pk)  /*  注意质因子次数为1因为次数大于等于2则含有平方因子  */

            0          (其他)

为什么关系平方因子呢?

因为,由定义:

/*
莫比乌斯函数完整定义的通俗表达:
1)莫比乌斯函数μ(n)的定义域是N
2)μ(1)=1
3)当n存在平方因子时,μ(n)=0
4)当n是素数,μ(n)=-1
5)当n是奇数个不同素数之积时,μ(n)=-1
6)当n是偶数个不同素数之积时,μ(n)=1
*/
Hint

由μ函数本身的积性

所以对于其他情况,只需要O(1)的从  mu[i] -> mu[i*p[j]] 就可以了

mu[i*p[j]]=-mu[i];

综上所述:

const int maxn=50000+10;
int mu[maxn],p[maxn],flag[maxn],cnt;
void mobius(int n){
  mu[1]=1;
  for(int i=2;i<=n;i++){
    if(!flag[i])p[++cnt]=i,mu[i]=-1;
    for(int j=1;j<=cnt && i*p[j]<=n;j++){
      flag[i*p[j]]=1;
      if(i%p[j]==0){mu[i*p[j]]=0;break;}
      mu[i*p[j]]=-mu[i];
    }
  }
}
mobius

 

以上是关于线性筛-mobius,强大O(n)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

线性筛-euler,强大O(n)

线性筛素数(欧拉筛)

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线性筛--如何线性求约数个数

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