Bzoj4503 两个串

Posted 2020-09-02 SilverNebula

数学问题 FFT 字符串 脑洞题

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 256 MB
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Description

兔子们在玩两个串的游戏。给定两个字符串S和T，兔子们想知道T在S中出现了几次，

分别在哪些位置出现。注意T中可能有“?”字符，这个字符可以匹配任何字符。

 

Input

两行两个字符串，分别代表S和T

 

Output

第一行一个正整数k，表示T在S中出现了几次

接下来k行正整数，分别代表T每次在S中出现的开始位置。按照从小到大的顺序输出，S下标从0开始。

 

Sample Input

bbabaababaaaaabaaaaaaaabaaabbbabaaabbabaabbbbabbbbbbabbaabbbababababbbbbbaaabaaabbbbbaabbbaabbbbabab
a?aba?abba

Sample Output

0

HINT

 

S 长度不超过 10^5， T 长度不会超过 S。 S 中只包含小写字母， T中只包含小写字母和“?”

 

Source

 

数学 FFT 字符串 脑洞题

 

通配符的出现使得自动机失去了用武之地。DP虽然还能得出正确的结果，但是却要跑一年。

盟军急需找到新的匹配手段（雾）

 

如何判断两个字符相等？它们的编码相等时它们就相等了(废话)

如何判断两个字符串相等？它们对应每一位的编码都相等时它们就相等了(废话)

a=b有什么性质？a-b=0 (废话)

那么两个字符串相等时有Σ(a[i]-b[i])=0  (诶？)

当然Σ(a[i]-b[i])=0不一定代表两串相等，可能前面多了一点，后面少了一点，加起来为0。

平方！ Σ((a[i]-b[i])^2)==0，没有漏洞了。

那么我们得到一种新的匹配方式，它比起旧匹配方式……不但没有优化，还多了平方的操作。

但如果将b数组翻转，似乎……可以求卷积！

激动地将式子展开，得到 Σa[i]*a[i] + Σb[i]*b[i] -Σ 2*a[i]*b[i] ，分别求三部分的卷积并累加，如果最终结果为0，说明字符串匹配上了！

通配符怎么解决？设通配符的值为0，在上面多乘一个b[i]得到Σ( b[i]*(a[i]-b[i])^2)==0 (当b[i]==0或b[i]==a[i]时可以匹配)。

FFT求卷积(O(nlogn))，若结果的第i位是0，那么(i-len(b)+1)到i这一段可以匹配。

マジやばくねー

注意精度误差。

 

还要注意数组重复利用时的初始化……前期代码写太乱各种WA，最后一气之下从0到n全部重新覆盖……

 

题目加强版：http://www.cnblogs.com/SilverNebula/p/6511348.html

　　↑这一版代码比下面这个优化程度高很多

 

 

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<algorithm>
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstring>
 5 #include<cstdio>
 6 #include<cmath>
 7 #include<vector>
 8 #include<complex>
 9 using namespace std;
10 const double pi=acos(-1.0);
11 const int mxn=810010;
12 typedef complex<double>com;
13 int read(){
14     int x=0,f=1;char ch=getchar();
15     while(ch<\'0\' || ch>\'9\'){if(ch==\'-\')f=-1;ch=getchar();}
16     while(ch>=\'0\' && ch<=\'9\'){x=x*10+ch-\'0\';ch=getchar();}
17     return x*f;
18 }
19 int rev[mxn];
20 int n,l;
21 void FFT(com *a,int flag){
22     int i,j,x;
23     for(i=0;i<n;i++)
24         if(rev[i]>i)swap(a[rev[i]],a[i]);
25     for(i=1;i<n;i<<=1){
26         com wn(cos(pi/i),flag*sin(pi/i));
27         for(j=0;j<n;j+=(i<<1)){
28             com w(1,0);
29             for(int k=0;k<i;k++,w*=wn){
30                 com x=a[j+k],y=w*a[i+j+k];
31                 a[j+k]=x+y;
32                 a[i+j+k]=x-y;
33             }
34         }
35     }
36     if(flag==-1)for(i=0;i<n;i++)a[i]/=n;
37 }
38 char s1[mxn],s2[mxn];
39 double a[mxn],b[mxn];
40 com c[mxn],d[mxn];
41 com e[mxn],two;
42 int ans[mxn],cnt=0;
43 int main(){
44     int i,j;
45     scanf("%s",s1);
46     scanf("%s",s2);
47     int len=strlen(s1);    int l2=strlen(s2);
48     int m=len<<1;
49     for(n=1;n<m;n<<=1)l++;
50     for(i=0;i<n;i++){rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));}
51     //
52     reverse(s2,s2+l2);
53     for(i=0;i<len;i++)a[i]=s1[i]-\'a\'+1;
54     for(i=0;i<l2;i++)if(s2[i]==\'?\')b[i]=0;else b[i]=s2[i]-\'a\'+1;
55 //    
56     for(i=0;i<n;i++)c[i]=com(b[i]*b[i]*b[i],0);//b^3
57     for(i=0;i<n;i++)d[i]=com(1,0);
58     FFT(c,1);FFT(d,1);
59     for(i=0;i<n;i++)e[i]=c[i]*d[i];
60     for(i=0;i<n;i++)c[i]=com(a[i]*2,0);
61     for(i=0;i<n;i++)d[i]=com(b[i]*b[i],0);
62     FFT(c,1);FFT(d,1);
63     for(i=0;i<n;i++)e[i]-=c[i]*d[i];
64     for(i=0;i<n;i++)c[i]=com(a[i]*a[i],0);
65     for(i=0;i<n;i++)d[i]=com(b[i],0);
66     FFT(c,1);FFT(d,1);
67     for(i=0;i<n;i++)e[i]+=c[i]*d[i];
68     FFT(e,-1);
69     for(i=l2-1;i<len;i++){
70         if(abs(e[i].real())<0.5){
71             ans[++cnt]=i-l2+1;
72         }
73     }
74     printf("%d\\n",cnt);
75     for(i=1;i<=cnt;i++){
76         printf("%d\\n",ans[i]);
77     }
78     return 0;
79 }