cogs750栅格网络流（最小割）

Posted 2020-09-02 安

750. 栅格网络流

★★☆   输入文件：flowa.in   输出文件：flowa.out   简单对比
时间限制：1 s   内存限制：128 MB

【问题描述】

Bob 觉得一般图的最大流问题太难了，他不知道如何解决，于是他想尝试一个简单点的：栅格网络中的最大流问题，这个虽说简单了一点，但对 Bob 来说依旧太难，现在他有个麻烦需要你帮忙：给你一个 N*M 的栅格（如下所示），栅格中的边表示可以流水的管道，边上的数字表示管道的容量，举例说明：在下面图（ 2.6.1 ）中， (0,0) 和 (1,0) 之间边的容量为 6 ，这意味着这条边（水管）的最大水流量不超过 6 个单位。

N=3 M=3
图 2.6.1 栅格网络流

那么栅格中从 S 到 T 的最大流是多少呢 ? 换句话说 , 某一时刻最多能有多少单位的水从 S 流向 T?

【输入格式】

输入文件的第一行是一个正整数 T ，表示接下来有多少组测试数据。

每一组测试数据的第一行有两个正整数 N,M(1<=N,M<=100)<n<100) 和="" m(1<m<100)="" 。接下来有两个整数矩阵="" h="" （="" n*(m-1)="" ）和="" v="" (n-1)*m="" ），="" h[i][j]="" 表示="" (i,j)="" 与="" (i,j+1)="" 之间边的容量，="" v[i][j]="" (i+1,j)="" 中所有的数均非负且小于="" 10^10="" 。<="" p="">

接着有两个矩阵H(N*(M-1)),V((N-1)*M)，H[i][j]表示(i,j)->(i,j+1)的流量；

V[i][j]表示(i,j)->(i+1,j)的流量。

【输出格式】

每一组测试数据输出只有一行，包含一个整数，即从 S(0,0) 到 T(N-1,M-1) 的栅格网络的最大流，不允许出现多余的空格。

【输入样例】

输入文件名： flowa .in

1
3 3
0 1
2 3
4 5
6 7 8
9 10 11

输出文件名： flowa .out

6

提示：下图 (2.6.2) 所示即为样例中栅格中的一个最大流。

N=3 M=3
图 2.6.2 一个解决方案

 

/*
  网格图的最小割问题
  很明显如果写最大流一定会超时，所以可以利用最大流最小割定理解决。
  我们可以感性的认识一下这个定理：
  在一条增广路中，至少有一条边是满流的，否则我们还可以接着增广
  那么切去这条边，就相当于阻断了一条增广路
  所以阻断所有增广路的最小代价就是所有增广路中的这条边，它们的和就是最大流。
  我们可以在某条边i的两侧加两个点，连一条边j，使两条边切割，这样建图的话，最小割就等于新图的最短路，
  只要多加起点和终点就可以跑最短路了。加边很麻烦要注意 
  dijkstral+堆优化 
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#define maxn 20010
#define inf 9999185000071099LL
#define ll long long

using namespace std;
int head[maxn],n,m,S,T,cnt;ll dis[maxn];
struct node
{
    int w,v,pre;
}e[maxn<<2];

inline void add(int u,int v,int w)
{
    e[++cnt].v=v;
    e[cnt].w=w;
    e[cnt].pre=head[u];
    head[u]=cnt;
}

int number(int i,int j)
{
    return (i-1)*(m+1)+j;
}

void Dij()
{
    priority_queue<int>q;
    for(int i=S;i<=T;i++) dis[i]=-inf;
    dis[S]=0;q.push(S);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.top();q.pop();
        for(int i=head[u];i;i=e[i].pre)
        {
            int v=e[i].v;
            if(dis[v]<dis[u]+(ll)e[i].w)
            {
                dis[v]=dis[u]+(ll)e[i].w;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    cout<<-dis[T]<<endl;
}

void work()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    S=0;T=(n+1)*(m+1)+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=2;j<=m;j++)
      {
          int x;scanf("%d",&x);
          add(number(i,j),number(i+1,j),-x);
          add(number(i+1,j),number(i,j),-x);
      }
    for(int i=2;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
      {
        int x;scanf("%d",&x);
        add(number(i,j),number(i,j+1),-x);
        add(number(i,j+1),number(i,j),-x);
      }
    for(int i=2;i<=m;i++) add(S,i,0);
    for(int i=2*m+2;i<=T-2;i+=(m+1)) add(S,i,0);
    for(int i=m+2;i<=T-2;i+=(m+1)) add(i,T,0);
    for(int i=n*(m+1)+2;i<=T-2;i++) add(i,T,0);
    Dij();
}

int main()
{
    freopen("flowa.in","r",stdin);
    freopen("flowa.out","w",stdout);
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        memset(head,0,sizeof(head));
        cnt=0;
        work();
    }
    return 0;
}