一道很有意思的数学题

Posted 2020-09-02

题目：某个家庭中有2个小孩，已知其中一个是女孩，则另一个是女孩的概率是多少？

　　答案：1/3

　　今天上概率课，想起了高中的这一道数学题。当初在高中对这个答案真的是百思不得其解，始终认为是1/2。生男生女和另一个孩子的性别有什么必然的联系吗？最后迫于升学的压力，不能任性啊~！！！只得背过答案，碰到前后性别不一样，就是2/3，一样就是1/3。

　　今天想起来，在百度上的找了好多关于这个问题理解，虽然有说1/3的，有说1/2的，但是仔细观察后发现，其实关于各种答案的问题描述还是有细微的差别的。最后在这里： 一道很sb的数学题（集中讨论帖，另开转水） ，找到了一个在我看来最理性，最通俗的回答，就是答主：关中侠客   的回答。我再根据自己的理解，把这个问题分析一遍。

　　一般的，如果问题是：①已知其中一个是女孩，则另一个是女孩的概率是多少？答案是1/3。

　　　　　　如果问题是：②已知老大是女孩，则另一个（老二）是女孩的概率是多少？答案是1/2。

　　仔细观察上面两种问题，会发现：

　　问题①对于两个孩子中谁是女孩没有限制，即：其中一个是女孩。其中一个女孩是谁？不知道，两个孩子都有可能。

　　问题②对于两个孩子中谁是女孩有一个限制，即：老大是女孩。

　　有了这个限制，问题中前后两个事件就都是独立事件，可以单独计算概率。而如果没有这个限制，前后两个事件不是独立的，这个问题的概率只能用条件概率计算。

　　下面列举两个孩子性别的所有情况：

　　老大　　老二

　　1. 男　　　男

　　2. 男　　　女

　　3. 女　　　男

　　4. 女　　　女

　　这样来看

　　问题①：其中一个是女孩的情况有 2 3 4，在前事件的条件下另一个是女孩的情况有 4，概率为1/3。

　　问题②：因为是两个独立事件，所以老二是女孩的概率是1/2。用条件概率解释：老大是女孩的情况有 3 4，在前事件的条件下老二是女孩的情况有 4，概率为1/2。

　　对这个问题的分析就到这里了。

　　在知乎上，我还看到一个类似的问题，答案依然是1/2。问题及链接如下：

　　数学题：我一个老朋友有且只有两个孩子，有一次我打电话过去，是他一个孩子接的，而且是个女孩，那么他有两个女儿的概率是多少？ 

　　这个问题按照最开始的问题描述格式，可以描述为：

　　朋友家有两个孩子，其中有一个接了我电话的女孩，则另一个孩子是女孩的概率是多少？

　　这样再看这个问题，对于哪一个孩子是女孩就有了一个限制，即：接了我电话的孩子就是女孩。所以“另一个孩子是女孩”这就是一个独立事件，概率可以单独计算。

　　弄明白这个问题，我有一个很大的感触，这个题不仅仅考察学生的数学计算能力，还要考察学生的阅读理解能力，不得不佩服出题老师的，高！╮(╯▽╰)╭幸好我现在毕业了！