一道奇怪的数学题

Posted 2023-04-13

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了一道奇怪的数学题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

参考技术A 携程网创始人沈南鹏曾在美国参加花旗银行面试时被问到了各种奇怪的问题，其中有一道这样的数学题让人有点费解，大家来看看如果是你的话，你会怎么个解法。

题目是：“一个美国人在菜市场上做生意。第一次，8美元买了一只鸡，9美元卖掉了；第二次，10美元买了同样的一只鸡，11美元又卖掉了。那么这个美国人到底是亏了，还是赚了？如果亏了，应该是亏多少？如果赚了，又是赚多少？”这个问题的答案不是唯一的哦，当时参加面试的有一个美国人、一个日本人，第三个人就是沈南鹏。3个人给出了3个不同的答案：美国人认为是赚了2美元；日本人认为是亏了2美元；沈南鹏认为是亏了4美元。

美国人是这样解释的：同样的一只鸡，第一次买一只，第二次买一只。第一轮交易：8买9卖，9-8=1，赚了1美元。第二轮交易：10买11卖，11-10=1，赚了1美元。两次交易相加：1+1=2，所以赚了2美元。

日本人的试算是这样的：同样的一只鸡，一口气买两只。第一次交易：8买9卖，9-8=1，赚了1美元。第二次交易：8买11卖，11-8=3，赚了3美元。两次交易相加：1+3=4，本来要赚4美元，但是，他只是赚了2美元，所以是亏了2美元。

而沈南鹏是这样认为的：同样的一只鸡，一口气买两只，一次性交易：8买11卖，（11-8）*2=6，可以赚到6美元。但是，他只是赚了2美元，所以是亏了4美元。

沈南鹏的答案新颖有意思，让花旗银行的面试官很满意。就这样他凭借自己优异的数学能力和逻辑分析能力，终于结束了四处奔波找工作的日子，在花旗银行华尔街分行开始了自己的职业生涯。

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科普有趣“小学”数学题，做出一道即可成名（持续补充）

【科普】有趣“小学”数学题，做出一道即可成名，赶紧让你孩子想想（持续补充）

小学数学老师问了我一道数学题，“任何大于2的偶数都可以写成两个质数的和”，“对吗”，“怎么论证”。我吃惊于这种著名的猜想普及率却如此值低，故做此文，普及数学中的一些著名猜想和定理。

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【科普】有趣“小学”数学题，做出一道即可成名，赶紧让你孩子想想（持续补充）

哥德巴赫猜想

任何一个大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和。

我国比较有名的这方面工作就是陈景润的工作。陈景润主要研究解析数论，1966年发表《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》（简记为(1,2)或(1+2)），成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑。而他所发表的成果也被称之为陈氏定理。这项工作还使他与王元、潘承洞在1982年共同获得中国自然科学奖一等奖。陈先生的故事非常多，有空的同学可以查一下。

另外，王元在1956年证明了“3+4”，并在1957年证明了“3+3”和“a+b”（a+b<6）以及“2+3”。王元老师在前一段时间去世了。

至今，“1+1” 还未被证明。

费马大定理（亦名费马最后定理）

当整数 $n > 2$ 时, 关于 $x, y, z$ 的不定方程
$x^{n}+y^{n}=z^{n}$
无正整数解。

1637 年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第 11 卷第 8 命题旁写道：“ 将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信我发现一种美妙的证法，可惜这里的空白处太小，写不下。”毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富数论的内容，推动数论的发展。

1995 年，安德鲁·怀尔斯证明费马大定理。怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用七年时间，在不为人知的情况下，得出证明的大部分。然后于 1993 年 6 月在一个学术会议上宣布他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审查证明的过程中，专家发现一个极为严重的错误。怀尔斯和泰勒之后用近一年时间尝试补救，终在 1994 年 9 月以一个之前怀尔斯抛弃过的方法得到成功，这部分的证明与岩泽理论有关。

有个记录片是讲述安德鲁·怀尔斯如何证明费马大定理的。

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孪生素数猜想

存在无穷多个素数 $p$ , 使得 $p + 2$ 是素数。其中，素数对 $(p, p + 2)$ 称为孪生素数。猜想也可以表述为，存在无穷对孪生素数。

2013 年 5 月 14 日, 《自然》杂志报道, 数学家张益唐证明存在无穷多个素数对相差都小于 7000 万，《数学年刊》 (Annals of Mathematics) 于 2013 年 5 月 21 日接受了张的论文。陶哲轩随后开始了一个 Polymath 计划，和网上志愿者合作降低张益唐论文中的上限。截至2014 年 4 月，即张益唐提交证明之后一年，上限已降至 246。2014 年，一名加拿大数学家称自己找到了一种简化和改进张益唐的方法的新方法，利用这一方法，可以将距离缩小到 6。

张益唐 1955 年出生，1978 年考入北大数学系，在北大便是同学中的佼佼者，1985 年从北大硕士毕业后，去美国普渡大学攻读博士学位，其间跟导师，来自台湾的代数几何高手莫宗坚产生了分歧。张益唐曾对记者含糊提及：“开始还好，但后来……由于一些个人原因并不是太好，最后学位是拿下了，但是……那个时候对我来说是比较失落的时候”，一向对媒体很随和的张益唐每被问到这一段，就不愿多谈。

张益唐博士毕业时，正逢数学系研究生找工作很困难的几年，加上没有导师的推荐信，1992 年毕业后的 7 年里，张益唐没有进入学术圈，谋生方式只是打零工，在快餐店做会计，给中餐店送外卖，也在汽车旅馆打过工。

据说，张证明这个猜想的灵感来源于看梅花鹿。2012 年 7 月 3 日，张益唐去好友指挥家齐光家做客，等待欣赏一场演出的排练，朋友家后院里经常有梅花鹿来做客，排练还没开始，张益唐想去看看有没有梅花鹿，鹿一直没有出现，但就在某一瞬间，灵感出现了。

“如果那天鹿来了，你的灵感还会来吗？”

“鹿来了，很可能真想不出来。”

“如果那天不来，你的灵感之后还会来吗？”

“我觉得还是会来的，但我不敢说具体什么时候。”

“他当此荣耀”

3n+1 猜想

考拉兹猜想（又称为奇偶归一猜想、 $\\mathrm{n}+1$ 猜想，冰電猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想），它是指对于每一个正整数, 如果它是奇数, 则对它乘3再加1, 如果它是偶数, 则对它除以2, 如此循环, 最终都能够得到1。
$f(n)=\\left\\{\\begin{array}{ll} n / 2 & \\text { if } n \\equiv 0 \\\\ 3 n+1 & \\text { if } n \\equiv 1 \\end{array} \\quad(\\bmod 2) .\\right.$

在 1930 年代, 德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经研究过这个猜想。在 1960 年, 日本人角谷静夫也研究过这个猜想。但这猜想到目前，仍没有任何进展。

目前已经有分布式计算在进行验证。到 2009 年 1 月 18 日, 已验证正整数到 $\\times 2^{60}$ , 也仍未有找到例外的情况。但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。

四色定理

四色定理（又称为四色地图定理），它说的是如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样。色定理的通俗版本是：“任意一个无飞地的地图都可以用四种颜色染色，使得没有两个相邻国家染的颜色相同。” 这里的飞地是指: 一个国家所有的、与其成片土地相分离而坐落在其他单位范围内的土地。

“是否只用四种颜色就能为所有地图染色?” 的问题最早是由南非数学家法兰西斯·古德里在1852 年提出的，被称为“四色问题”或“四色猜想”。人们发现，要证明宽松一点的“五色定理”（即“只用五种颜色就能为所有地图染色”）很容易，但四色问题却出人意料地异常困难。曾经有许多人发表四色问题的证明或反例，但都被证实是错误的。

1976 年，数学家凯尼斯·阿佩尔和沃夫冈·哈肯借助电子计算机首次得到一个完全的证明，四色问题也终于成为四色定理。这是首个主要借助计算机证明的定理。这个证明一开始并不为许多数学家接受，因为不少人认为这个证明无法用人手直接验证。尽管随着计算机的普及，数学界对计算机辅助证明更能接受，但仍有数学家希望能够找到更简洁或不借助计算机的证明。

黎曼猜想

黎曼 $\\zeta$ 函数，
$\\zeta(s)=\\frac{1}{1^{s}}+\\frac{1}{2^{s}}+\\frac{1}{3^{s}}+\\frac{1}{4^{s}}+\\cdots$
它的非平凡零点（在此情况下是指 $s$ 不为 $\\cdots$ 等点的值）的实数部分是 $\\frac{1}{2}$ 。也就说，它的解是分布在实轴和 $\\frac{1}{2}+t i$ 上的。

黎曼1859年在他的论文《Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe》中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。

近年来的工作主要集中于计算大量零点的位置（希望借此能找到一个反例）。但是很遗憾，没有找到。

2018 年 9 月 24 日，英国数学家迈克尔·阿蒂亚爵士（Sir Michael Atiyah）在德国海德堡获奖者论坛宣称他证明了已有 159 年历史的黎曼猜想，引发媒体关注。到目前，还没有数学家表示验证了阿蒂亚爵士的证明，很多人不相信他已经证明这个，毕竟年纪那么大了，证明出来的可能性极小，大家都懒得去看他的证明了。但是，数学家们出于对他的尊重，也是任由他去，基本上没有人去反驳。不到 4 个月后，2019年1月11日，他就去世了。他的宣传证明，更像是死前的不愿留有遗憾。

过去一百多年来，不断有科学家向黎曼猜想发起冲击，但无一例外地失败了。这个猜想的证明，不管是证实还是证伪，都会给当今的数学界造成大地震，无数以它为基础的定理或许被肯定，或许被推翻。

P=NP?

要搞清楚这个问题是什么，就要搞清楚，P（Polynomial)、NP（Non-deterministic，注意不是非多项式）、NPC（NP-Complete）、NP-Hard 等概念。很多人在聊天当中，经常滥用这些词，感觉到一个问题可以穷举解决，就说叫 NP，这个不对哈。下面简单介绍一下这些概念。

P 问题

一个问题，我们往往可以通过算法解决。算法的时间复杂度（这是给消耗时间虽问题规模增长的描述量）的描述一般为：

多项式级别复杂度： $O (1)$ 、 $O(\\log n)$ 、 $O(n^k)$ ，这个 $k$ 不依赖问题规模。
非多项式时间复杂度： $O(k^n)$ 、 $O (n!)$ 等。

如果一个问题，我们能找出一个多项式时间的算法去解决它，我们就称之为 P 问题。

例如：比如说排序问题，我们能找出 $\\log n)$ 的算法，这就是一个 P 问题。

NP 问题

NP 问题不是非多项式时间的算法解决的问题。它指的是这样一类问题，即如果一个问题，你给出的猜想的测试例子，能在多项式时间内，判断或者说验证这个例子的有效性，即这个例子放到这个问题中是否给出了一个正确的回答。

例如，寻找哈密顿回路的问题：给你一个图，问你能否找到一条经过每个顶点一次且恰好一次（不遗漏也不重复）最后又走回来的路。然后我随便给一条测试路径，你可以很容易地在多项式时间内判断这条路径是否经过每个顶点有且只有一次。你可以找各种各样的路径在多项式时间内去试，去验证，这个问题就是 NP 问题。这类问题，不一定能在多项式时间求出解，但是可以在多项式时间内验证任意一个解是否满足。

反之，如果把问题改为：判断一个图中是否不存在哈密顿回路。随机给一条回路，不管你选的回路多么巧妙，是一个什么样的回路，光靠它一个，都无法证实这个问题。那么，这个问题，就不是 NP 问题。

NP 问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题。 往往说的，需要穷举的，都不是 NP 问题。

容易看到，P 问题，必然是 NP 问题，因为至少可以通过 P 算法，解出来一个解，直接和猜想的解做比较即可验证这个解。

NPC 问题

首先，谈一谈什么叫规约。所谓的 A 可以规约为 B，是说，B 是比 A 更大范围的一个问题，A 问题是 B 问题的特例，B 问题解决了，A 问题也解决了。

例如求解一个一元一次方程（A）和求解一个一元二次方程（B）。如果我买有一个方法求解一元二次方程，并且把这个方法套到 A 问题上，令一元二次方程的二次项系数为0，那么 A 问题就解决了。这时候，我买说 A 问题可以规约为 B。

如果能找到这样一个多项式时间的变化法则（如令一元二次方程的二次项系数为0），对任意一个程序 A 的输入，都能按这个法则变换成程序 B 的输入，使两程序的输出相同，那么我们说，问题 A 可规约为问题 B 。

容易知道，规约是具有传递性的。A 可以规约到 B，B 可以规约到 C，这样。问，是否存在一个很“大”的终极 NP 问题，使得所有的 NP 问题都可以规约到它。答案是肯定。并且这个问题还不止一个，它们是一类，而且是某种意义下“等价”的一类。

那么，NPC 问题的定义如下：

是 NP 问题
所有的 NP 问题都可以约化到它

这样的问题存不存在呢？当然。逻辑电路问题是指的这样一个问题：逻辑电路，问是否存在一种输入使输出为 True。这是一个 “爸爸级” 的问题。所有的 NPC 问题，都可以由这个 NPC 问题约化而来。

很多问题已经被证明为了 NPC 问题。

NP-Hard 问题

上面 NPC 的定义中有两条，如果不需要第一条，那么所有 NP 问题都可以约化到的问题就是 NP-Hard 问题。NP-Hard 问题不一定是一个 NP 问题，不一定能在多项式时间内验证一个解，这样的问题就更难了。

他们之间的关系是，P 问题一定是 NP 问题，NP 问题可以规约到 NP 问题的子集，即 NPC 问题，其他 NP 问题，规约到 NP-Hard 问题。当 P=NP 的时候，NP 实现了自我规约，非 P 问题，规约到 NP-Hard 问题，事情就变简单了很多。

p 问题是 np 问题的一个子集，所有的 np 问题可以规约的所有大问题的集合叫做 np 难问题，np 难问题里面有一类是 np 问题，就是 npc 问题。
也就是说所有 np 问题规约到的不仅仅有还是 np 的 npc 问题，还有可能规约到非 npc 的 np 难问题。只有规约到 npc 问题的情况，他们才是等价的一类。

这是另外一码事了。

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NP=P？问题

现在回到这个问题，NP 是否等于 P？其实问的就是所有的 NP 是否都是 P，即如果一个问题，能够通过多项式的时间验证一个解，那么是否一定能找出一个多项式时间的解法？

给定一个 P，判断是不是 NP，这个问题本身就是一个 NP-Hard 问题（不严格的说法）。在 NPC 之前，我们需要遍历所有的 NP。一个 NP，如果找到了已给多项式算法，它就变成了 P，所有的 NP 都可以变成 P，那么这个问题就解决了。所以，你给一个一般 NP 问题，你找了一个算法，把它变成了 P，对于这个问题的解决是没有太大作用的。所以，我们需要把 NP 问题规约为 NPC 问题。如果被放得太大了，那么证明的难度自然就增加了。难度太大了，整不出来了，那么一切就成了信仰。

通过上面的讨论我们可以知道，只要任意一个 NPC 问题能够找到多项式解法，那么所有的 NP 问题也就能找到多项式解法，则 NP = P。

因为这个问题很难，所以现在已经成了一种信仰。就像无法确认鬼神的存在，但是我们可以有宗教信仰。你问我信不信，我当然不信。NP 是两个字母，P 是一个字母，两个字母怎么可能等于一个字母。除非他们是变量，被赋值了同一个数。

参考链接

庞加莱猜想

任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。
上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。

当连通，在面上任意取闭合的曲线，慢慢收缩，都能缩成一个点，我们就说他是单连通的。比如说，球面。填填圈就是不是单连通的，因为绕它的“洞”环一周的曲线就无法缩成一个点。

同胚：通俗地将，可以把水杯保留手柄上的洞，捏成甜甜圈的轮胎状，我们据说，甜甜圈和水杯是同胚的。

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2006 年确认由俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但并未现身领奖。正式回信里他只写了结论：无论如何都不会去领奖。佩雷尔曼原话是认为哈密顿的功劳是最大的, 他只是完成了最后一步而已。更重要的是他认为目前数学界乃至整个科学界的评价体系有问题。我们的推测是他认为现在学术体系太功利化了，他想要的只是思考数学本身的乐趣。这才是 YYDS。

abc 猜想

对于任何 $\\varepsilon>0$ , 只存在有限个互素正整数的三元组 $(a, b, c)$ ， $c = a + b$ ，使得
$c>\\operatorname{rad}(a b c)^{1+\\epsilon}$

对正整数 $n$ ， $\\operatorname{rad}(n)$ 表示 $n$ 的质因数（重复的只算一次）的积，称为 $n$ 的根基 ( radical) 。

abc 猜想在数学界有着重要意义，很多著名猜想/理论都是它的推论，如费马大定理、比尔猜想、Mordell 猜想、卡塔兰猜想以及孪生素数猜想等。这个猜想在数论中的地位很高，几乎与黎曼猜想齐名。

2012 年，日本的望月新一悄悄上传了论文预印本，发布平台却没有选择数学家首选的 arXiv，而是在京都大学数理解析研究所的个人主页上。众人打开论文时，大家都被其中的内容吓到了：论文以一种高深莫测的特殊风格撰写，即使是同样作为数学家的很多人也都看不懂。具体来说，这篇论文中充满了各种奇怪的符号，以及风格诡异的定义名称，如「宇宙暗边际之极」、「霍奇影院」（Hodge Theater）、「外星算数全纯结构」（alien arithmetic holomorphic structures）等等…… 望月新一的论文实际上由多篇组成，相加起来超过了 600 页，晦涩难懂，还引用了超过 500 页自己的其他论文，几乎就是为了解决 abc 猜想而发展出了一套新的数学理论。

2020 年 4 月 3 日，日媒京都新闻报道，日本京都大学数理分析研究所教授望月新一（Shinichi Mochizuki）对于数论难题「abc 猜想」的证明将正式发表。从公布之日算起，该论文经历了近 8 年的审查。

此外，有关望月新一还一直流传着这样一种说法，他被认为是比特币的发明者。但这一说法疑点颇多。

卡塔兰猜想

除了 $8=2^{3}，9=3^{2}$ ，没有两个连续整数都是正整数的幕 (即次方数) 。以数学方式表述为：不定方程 $x^{a}-y^{b}=1$ 的大于1的正整数 $x ， y ， a ， b$ 只有唯一解

以上是关于一道奇怪的数学题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

刘教链比特币原理4-3 一道猜数字的数学题