一道数学题的思考

Posted 2022-12-13 Vicent_9920

  最近看见一道数学题，比较有意思：

房间里有100个人，每人都有100元钱，他们在玩一个游戏。每轮游戏中，每个人都要拿出一元钱随机给另一个人，最后这100个人的财富分布是怎样的？我们不妨把这场游戏视作社会财富分配的简化模型，从而模拟这个世界的运行规律。我们假设：每个人在18岁带着100元的初始资金开始玩游戏，每天玩一次，一直玩到65岁退休。“每天拿出一元钱”可理解为基本的日常消费，“获得财富的概率随机”是为了……嗯……简化模型。以此计算，人一生要玩17000次游戏，即获得17000次财富分配的机会。答案有如下三种情况：

  当看见这道题的时候，我认为财富的分布应该是接近均匀分布，毕竟概率是均等的。但是答案竟然是接近冥律分布，为什么呢？我决定使用代码来计算一遍！

  使用代码计算，首先考虑一个问题，就是随机数，目前 Random 函数的随机数存在“伪随机”，就是每次的随机数都是一样的，我们可以通过代码来测试一下：

import java.util.Random;

public class MyClass 
    public static void main(String[] args) 

        for (int i = 0; i < 3; i++) 
            System.out.println( "第"+i+"次输出结果"+new Random(5).nextInt(100));
        

    

接下来看看日志结果，大家就明白了！

第0次输出结果87
第1次输出结果87
第2次输出结果87
第3次输出结果87
第4次输出结果87
第5次输出结果87
第6次输出结果87
第7次输出结果87
第8次输出结果87
第9次输出结果87

避免随机数的方法比较多，有减掉种子参数（）、将 Random 对象生成一个对象，每次使用同一个对象，代码验证一下：

import java.util.Random;

public class MyClass 
    public static void main(String[] args) 
        Random rl = new Random();
        for (int i = 0; i < 10; i++) 
            System.out.println( "无种子参数第"+i+"次输出结果"+ new Random().nextInt(10));
            System.out.println( "同 Random 对象第"+i+"次输出结果"+ rl.nextInt(10));
        

    

日志验证结果：

无种子参数第0次输出结果4
同 Random 对象第0次输出结果6
无种子参数第1次输出结果0
同 Random 对象第1次输出结果1
无种子参数第2次输出结果8
同 Random 对象第2次输出结果8
无种子参数第3次输出结果4
同 Random 对象第3次输出结果4
无种子参数第4次输出结果1
同 Random 对象第4次输出结果8
无种子参数第5次输出结果7
同 Random 对象第5次输出结果6
无种子参数第6次输出结果8
同 Random 对象第6次输出结果4
无种子参数第7次输出结果8
同 Random 对象第7次输出结果2
无种子参数第8次输出结果7
同 Random 对象第8次输出结果8
无种子参数第9次输出结果0
同 Random 对象第9次输出结果1

上述的“伪函数”的原因是种子参数的使用——

在进行随机时，随机算法的起源数字称为种子数(seed)，在种子数的基础上进行一定的变换，从而产生需要的随机数字。因此，相同种子数的Random对象，相同次数生成的随机数字是完全相同的。

  了解了Random对象以后，接下来需要实现财富分配的过程，上面说的是规则不大清晰，只说了每个人的初始资金为100元，每次中奖了就分配，然后总次数为17000次。我们在实现的过程中需要考虑的问题还有几点：

1. for 循环的时候，是 100 个人每次抽奖 17000 次，还是抽 17000 次奖，每次遍历 100 个人？
2. 当每个人的资金减少到0元以后是否还有机会中奖？
3. 当有人的资金减少为 0 时，可分配的奖金响应减少，如何纪录？
4. 当问题 1 为否定时，会发生无人中奖的情况，这个时候已经出资1元的资金需要取回，且总次数是否增加？

  第一、虽然总的计算次数都是1700000次，但是这里的逻辑不一样，前者抽奖次数达到了1700000次，后者抽奖次数固定为17000次，按照逻辑判断，应该选后者。

  第二、我将这个问题理解为博弈，并非作者所提的社会问题（社会问题需要考虑到财富平均的财富再分配，博弈考虑的是我付出了有多大的收益），因此第一个问题我的答案是没有机会中奖，这样也会更加公平！

  第三、我的做法是在每轮博弈前设置一个奖金初始值 bonus，假设每次一开始都不知道有人需要退出，因此初始值一直是100元，接下来在每次收取博弈奖金的时候判断参与者是否还有资金（资金是否为 0 或者为 -1）参与本轮博弈，没有的话我会给他们一个标记（资金设为 -1），并且将奖金 bonus 减去 1 。当 100 人循环完毕以后，博弈奖金就是 bonus 了！

  第四、该问题类似第二个问题，在每轮博弈前设置一个标记 isBouns ，定义为无人中奖。然后在得到 bonus 以后，就可以开奖了。如果遇到无人中奖（假设中奖号为 99 ，但是 99 号没有投注博弈资金了，则本轮无人中奖），这个时候可以通过判断 isBouns 来决定总次数是否增加。由于总次数 17000 次是来自时间的计算，所以这里我也没有增加总次数了。如果需要增加，我们可以对总次数定义一个变量 22K (可以自行百度22k 这个故事),初始值为 17000 ，在无人中奖的时候加 1 即可。

代码如下：

import com.google.gson.Gson;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.Random;

/**
 * Created by κ?? on 2017/7/30.
 */

public class Test 
    static List<Integer> data = new ArrayList<>();
    public static void main(String []args) 
        Random rl = new Random();
        int count = 100;
        int all = 17000;


        for (int i = 0; i < 100; i++) 
            data.add(100);
        
        int ran = rl.nextInt(100);
        for (int i = 0; i < 17000; i++) 
            boolean isBouns = false;
            int bonus = 100;
            for (int j = 0; j < 100; j++) 

                if(data.get(j) == 0)
                    data.set(j,-1);
                    bonus--;
                else if(data.get(j) != -1)
                    int value = data.get(j);
                    data.set(j,value-1);
                else
                    bonus--;
                

            
            if(data.get(ran)!=-1)
                int value = data.get(ran);
                data.set(ran,value+bonus);
                isBouns = true;

            

            ran = rl.nextInt(100);
            if(!isBouns)
                for (int j = 0; j < 100; j++) 
                    int value = data.get(j);
                    if(value!=-1)
                        data.set(j,value+1);
                    

                
            



        


        System.out.println(getData());
        //数据详情
        System.out.println(new Gson().toJson(data));
    

    private static int getData() 
        int result = 0;
        int count = 0;
        int winer = 0;
        for (int i = 0; i < 100; i++) 
            if(data.get(i) != -1 && data.get(i) != 0)
                result+=data.get(i);
                count++;
                //绝对赢家
                if(data.get(i)>100)
                    winer++;
                
            
        
        System.out.println("共有"+winer+"人赢了！其中有"+count+"还有钱！");
        //总资金 10000,检查这个值计算是否有计算出错
        return result;
    

  最后说一下我的计算结果：

  代码运行10 次，累计208人还有钱，其中7人不足100元，也就是说平均每轮（几十年的概念）有20.8%的概率还有能力继续博弈，每轮有20.1%的概率盈利！

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参考文章：

http://blog.csdn.net/hla199106/article/details/45030041

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文章来源

https://media.weibo.cn/article?id=2309404134038146271148&from=timeline&jumpfrom=weibocom