HDU 4549 M斐波那契数列(矩阵快速幂&费马小定理)

Posted 2020-06-17 shiyicode

ps：今天和战友聊到矩阵快速幂，想到前几天学长推荐去刷矩阵专题，挑了其中唯一一道中文题，没想到越过山却被河挡住去路。。。

题目链接：[kuangbin带你飞]专题十九 矩阵 R - M斐波那契数列

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题意

Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

Input

输入包含多组测试数据；
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

思路

一看到题，就拿二维01矩阵变来变去尝试半天，无果，就手推了几部，猛然发现f[i] = a^fib[i- 1]*b^fib[i]。道友们动动手，很容易就能发现。
然后就是刷刷的矩阵快速幂求fib，求出两数，再快速幂，结果得出，俩样例试过没问题，提交，wrong。。。
找来找去，找不出错误在哪，去百度了下，发现别人在对矩阵快速幂的时候都是对MOD-1取余的，顿时纳闷，才发现自己忽略了a^b时迭代时不能直接取余的。
看解释说是由费马小定理可以得出循环节是MOD-1，所以对MOD-1取余。仔细的看了费马小定理，似懂非懂的，至于循环节，压根就没想通，可怜在数论上几近一张白纸的我。(ps：过两天好好研究研究)

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <cmath>
#include <map>

using namespace std;

#define LL long long

const int MOD = 1000000007;

struct Node
{
    LL a, b, c, d;
    Node(){};
    Node(LL a, LL b, LL c, LL d)
    :a(a),b(b),c(c),d(d){}
    Node operator*(const Node& t)
    {
        Node ans;
        ans.a = ((this->a*t.a)%(MOD-1)+(this->b*t.c)%(MOD-1))%(MOD-1);
        ans.b = ((this->a*t.b)%(MOD-1)+(this->b*t.d)%(MOD-1))%(MOD-1);
        ans.c = ((this->c*t.a)%(MOD-1)+(this->d*t.c)%(MOD-1))%(MOD-1);
        ans.d = ((this->c*t.b)%(MOD-1)+(this->d*t.d)%(MOD-1))%(MOD-1);
        return ans;
    }
};

LL qpower(LL n, LL x)
{
    LL ans = 1;
    LL p = x;
    while(n)
    {
        if(n & 1)
            ans = (ans*p)%MOD;
        p = (p*p)%MOD;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    LL a, b, n;
    while(cin>>a>>b>>n)
    {
        Node p = Node(0, 1, 1, 1);
        Node ans = Node(1, 0, 0, 1);
        if(n == 0)
        {
            cout<<a<<endl;
            continue;
        }
        --n;
        while(n)
        {
            if(n & 1)
                ans = ans*p;
            p = p*p;
            n >>= 1;
        }
        LL fiba = ans.b;
        LL fibb = ans.d;
        LL rel = 0;
        rel = (qpower(fiba, a) * qpower(fibb, b))%MOD;
        cout<<rel<<endl;
    }
}