HDU 4549 (费马小定理+矩阵快速幂+二分快速幂)

Posted 2020-07-22 Ritchie丶

M斐波那契数列

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64bit IO Format: %I64d & %I64u

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Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义如下： 

F[0] = a 
F[1] = b 
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 ) 

现在给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包含多组测试数据； 
每组数据占一行，包含3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组测试数据请输出一个整数F[n]，由于F[n]可能很大，你只需输出F[n]对1000000007取模后的值即可，每组数据输出一行。

 

Sample Input

0 1 0 6 10 2

 

Sample Output

0 60

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

题意如题。

题解：解题过程中会发现a和b的指数是斐波那契数列，b的指数是f[n]，a的指数是f[n-1]。

　　　构造{Fn+1,Fn,Fn,Fn-1}的矩阵，当n=1的时候是{1,1,1,0}，单位矩阵为{1,0,0,1}。

　　　利用矩阵快速幂可以求出a和b的指数，在这个过程中还要用到费马小定理。

　　　费马小定理:x的y次幂对M取模，如果M为素数且x和M互素，可以将y对(M-1)取模后再将结果对M取模。

　　　即如果p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p）。

　　　然后求a的an次幂和b的bn次幂的乘积并取余，分别利用二分快速幂即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
#define mod  1000000006
#define mod2 1000000007
typedef long long ll;
struct matrix
{
    ll data[2][2];
};
matrix I= {1,0,0,1};
matrix multi(matrix a,matrix b)
{
    matrix c;
    memset(c.data,0,sizeof(c.data));
    for(int i=0; i<2; i++)
        for(int j=0; j<2; j++)
            for(int k=0; k<2; k++)
            {
                c.data[i][j]+=(a.data[i][k]%mod)*(b.data[k][j]%mod);
                c.data[i][j]%=mod;
            }
    return c;
}
matrix pow(matrix a,ll b)
{
    matrix ans=I;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=multi(ans,a);
            b--;
        }
        b>>=1;
        a=multi(a,a);
    }
    return ans;
}
ll pow2(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans*=a;
            ans%=mod2;
            b--;
        }
        b>>=1;
        a*=a;
        a%=mod2;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll aa,bb,an,bn,n;
    while(scanf("%lld%lld%lld",&aa,&bb,&n)!=EOF)
    {
        matrix a= {1,1,1,0};
        matrix ans;
        ans=pow(a,n);
        bn=ans.data[0][1];
        an=ans.data[1][1];
        //cout<<"a: "<<an<<"  b: "<<bn<<endl;
        ll ans2=((pow2(aa,an)%mod2)*(pow2(bb,bn)%mod2))%mod2;
        printf("%lld\n",ans2);
    }
    return 0;
}