NOI2001食物链

Posted 2020-06-17

Description

动物王国中有三类动物 A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A吃B，B吃C，C吃A。 　　

现有N个动物，以1－N编号。每个动物都是A,B,C中的一种，但是我们并不知道它到底是哪一种。 　　

有人用两种说法对这N个动物所构成的食物链关系进行描述： 　　

第一种说法是“1 X Y”，表示X和Y是同类。 　　

第二种说法是“2 X Y”，表示X吃Y。 　　

此人对N个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出K句话，这K句话有的是真的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。 　　

1） 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话； 　　

2） 当前的话中X或Y比N大，就是假话； 　　

3） 当前的话表示X吃X，就是假话。 　　

你的任务是根据给定的N（1<=N<=50,000）和K句话（0<=K<=100,000），输出假话的总数。

Input

第一行是两个整数N和K，以一个空格分隔。 　　

以下K行每行是三个正整数D，X，Y，两数之间用一个空格隔开，其中 D 表示说法的种类。 　　

若D=1，则表示X和Y是同类。 　　

若D=2，则表示X吃Y。

Output

只有一个整数，表示假话的数目。

Sample Input

100 7

1 101 1

2 1 2

2 2 3

2 3 3

1 1 3

2 3 1

1 5 5

Sample Output

3

HINT

输入文件  

 对7句话的分析 100 7

1 101 1　　假话

2 1 2　　  真话

2 2 3　　  真话

2 3 3　　  假话

1 1 3　　  假话

2 3 1　　  真话

 1 5 5　　  真话

题解

http://blog.csdn.net/c0de4fun/article/details/7318642

Part I - 权值(relation)的确定。
森林中有3种动物。A吃B，B吃C，C吃A。
以动物之间的关系来作为并查集每个节点的权值。
注意，我们不知道所给的动物所属的种类。
所以，我们可以用动物之间“相对”的关系来确定一个并查集。
0 - 这个节点与它的父节点是同类
1 - 这个节点被它的父节点吃
2 - 这个节点吃它的父节点。

 

注意，这个0,1,2所代表的意义不是随便制定的，我们看题目中的要求。
第一个数字（下文中，设为d）指定了后面两种动物的关系：
1 - X与Y同类
2 - X吃Y

 

我们注意到，当 d = 1的时候，( d - 1 ) = 0
当 d = 2的时候，( d - 1 ) = 1，代表Y被X吃
所以，这个0,1,2不是随便选的

Part II - 路径压缩，以及节点间关系确定
我们把所有的动物全初始化。

int relation; //该node与父节点的关系，0同类，1被父节点吃，2吃父节点

初始化
For i = 0 to N do
　　ani[i].parent = i;
　　ani[i].relation = 0 ; //自己和自己是同类
End For

 

(1)路径压缩时的节点算法

SET1 = {1,2}，我们规定集合中第一个元素为并查集的“代表”
假如现在有语句：
2 2 6
这是一句真话
2是6的父亲
ani[6].parent = 2;
ani[6].relation = 1;
那么，6和1的关系如何呢？
ani[2].parent = 1;
ani[2].relation = 0;
我们可以发现6与2的关系是 1.
ani[now].parent = ani[ani[now].parent].parent;
ani[now].relation = ( ani[now].relation + ani[now.parent].relation ) % 3;
这个路径压缩算法是正确的
注意，根据当前节点的relation和当前节点父节点的relation推出当前节点与其父节点的父节点的relation这个公式十分重要！！
( 儿子relation + 父亲relation ) % 3 = 儿子对爷爷的relation
这就是路径压缩的节点算法

(2) 集合间关系的确定
在初始化的时候，我们看到，每个集合都是一个元素，就是他本身。
这时候，每个集合都是自洽的（集合中每个元素都不违反题目的规定）
使用并查集的目的就是尽量的把路径压缩，使之高度尽量矮

把两个集合合并成一个集合。
直接
int a = findParent(ani[X]);
int b = findParent(ani[Y]);
ani[b].parent = a;
就是把Y所在集合的根节点的父亲设置成X所在集合的根节点。
但是，但是！！！！
Y所在集合的根结点与X所在集合的根节点的关系！！！要怎么确定呢？
我们设X,Y集合都是路径压缩过的，高度只有2层
我们先给出计算的公式
ani[b].relation = ( 3 - ani[Y].relation + ( d - 1 ) + ani[X].relation) % 3;
这个公式，是分三部分，这么推出来的
第一部分：
( d - 1 ) :这是X和Y之间的relation，X是Y的父节点时，Y的relation就是这个
父相对于子的relation（即假如子是父的父节点，那么父的relation应该是什么，因为父现在是根节点，所以父.relation = 0，我们只能根据父的子节点反推子跟父节点的关系）
0 ( 3 - 0 ) % 3 = 0
1（父吃子） ( 3 - 1 ) % 3 = 2 //父吃子
2（子吃父) ( 3 - 2 ) % 3 = 1 //子吃父
——————————————————————————————————————————————————————
我们的过程是这样的：
把ani[Y]，先连接到ani[X]上，再把ani[Y]的根节点移动到ani[X]上，最后，把ani[Y]的根节点移动到ani[X]的根节点上，这样算relation的
还记得么，如果我们有一个集合，压缩路径的时候父子关系是这么确定的
ani[爷爷].relation = ( ani[父亲].relation + ani[儿子].relation ) % 3
我们已知道,( d - 1 )就是X与Y的relation了
而 (3 - ani[Y].relation)就是 以Y为根节点时，他的父亲的relation
我们假设把Y接到X上，也就说，现在X是Y的父亲，Y原来的根节点现在是Y的儿子
Y的relation + ani[Y]根节点相对于ani[Y]的relation
( ( d - 1 ) + ( 3 - ani[Y].relation) ) % 3
就是ani[Y]的父亲节点与ani[X]的relation了！

那么，不难得到，ani[Y]的根节点与ani[X]根节点的关系是：
( ( d - 1 ) + ( 3 - ani[Y].relation) + ani[X].relation ) % 3 ->应用了同余定理
注意，这个当所有集合都是初始化状态的时候也适用哦
Part III - 算法正确性的证明
首先，两个自洽的集合，合并以后仍然是自洽的
当set1和set2合并之后，set2的根节点得到了自己关于set1根节点的
正确relation值，变成了set1根节点的儿子，那么
set2的所有儿子只要用
( ani[X].relation + ani[Y].relation ) % 3就能得到自己正确的relation值了
所以说，针对不在同一集合的两个元素的话，除非违背了（2）和（3），否则永远是真的
（无论这句话说的是什么，我们都可以根据所给X,Y推出两个子节点之间应有的关系，这个关系一确定，所有儿子的关系都可以确定）

其实所有的不同集合到最后都会被合并成一个集合的。
我们只要在一个集合中找那些假话就可以了。
首先，如何判断
1 X Y是不是假话。//此时 d = 1
if ( X 和 Y 不在同一集合)
Union(x,y,xroot,yroot,d)
else
if x.relation != y.relation ->假话
其次，如何判断
2 X Y是不是假话 //此时d = 2
if ( X 和 Y 不在同一集合）
Union(x,y,xroot,yroot,d)
else
(ani[y].relation + 3 - ani[x].relation ) % 3 != 1 ->假话
这个公式是这么来的：
3 - ani[x].relation得到了根节点关于x的relation
ani[y] + 3 - ani[x].relation得到了y关于x的relation
所以，只要y关于x的relation不是1，就是y不被x吃的话，这句话肯定是假话！

(2)路径压缩要特别注意的一点
路径压缩的时候，记得要先findParent，再给当前节点的relation赋值。
否则有可能因为当前节点的父节点的relation不正确而导致错的稀里哗啦。

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=50010;
struct animal{
	int fa,rel;
}ani[N];
int n,k,d,x,y,a,b,ans;
void init_animal(int n){
	for (int i=1;i<=n;i++){
		ani[i].fa=i;
		ani[i].rel=0;
	}
}
int findparent(int x){
	if (ani[x].fa==x)return ani[x].fa;
	int tmp;
	tmp=ani[x].fa;//因为ani[x].fa的值在下一步中可能改变了 
	ani[x].fa=findparent(ani[x].fa);
	ani[x].rel=(ani[x].rel+ani[tmp].rel)%3;
	return ani[x].fa;
}
void Union(int x,int y,int a,int b,int d){
	ani[b].fa=a;
	ani[b].rel=((3-ani[y].rel)+(d-1)+ani[x].rel)%3;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	init_animal(n);
	for (int i=1;i<=k;i++){
		scanf("%d%d%d",&d,&x,&y);
		if (x>n||y>n) ans++;
		else if (d==2 && x==y)ans++;
		else{
			a=findparent(x);b=findparent(y);
			if (a!=b) Union(x,y,a,b,d);
			else{
				if (d==1){
					if (ani[x].rel!=ani[y].rel) ans++;
				}
				else if (((ani[y].rel+3-ani[x].rel)%3)!=1) ans++;
			}
		}
	}
	printf("%d",ans);
}